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アルキメデスの定理の証明

koko_u_uの回答

  • koko_u_u
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回答No.3

>なのでこの問題を考えるとき、 >「ワイエルシュトラスの定理⇒デデキンドの定理⇒アルキメデスの定理」 >のように考えてしまうのです。 だから、それを補足に。 多分、あなたは教科書に書いてある証明を読んだだけで、考えてはいません。 人に答えを聞いても頭は柔らかくならないですよ。

mo-taro
質問者

お礼

ありがとうございました。

mo-taro
質問者

補足

えっと・・・ 背理法を用いたいので「すべての自然数nに対してn<=x」となるようなxが存在すると仮定します。 そのようなxの集合をB、Bの補修合をAとします。 そうすると(A、B)は切断となり、Aは上に有界なのでワイエルシュトラスの定理より上限が存在し、それをsとおきます。 sがAの要素ならA=(-∞、s]、B=(s、∞)となります。 またsがBの要素ならA=(-∞、s)、B=[s、∞)になります。 (ここまでがデデキンドの定理) どちらにせよ、s-1はAの要素なのでs-1<nとなるようなnが存在します。 また、s+1はBの要素なのですべてのnに対しn<=s+1となります。 しかし1番目の式両辺に2を足すとs+1<=n+1となり、n+1という自然数について2番目の式が成り立ちません。 よって矛盾するので「どんな実数xについてもx<nとなる自然数nが存在する」ということになります。 こんな感じの証明になりますが、デデキンドの定理を使わないとなるとどうしたらいいのかわかりません・・・

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