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fn(x)の式がよくわかりません
cfv21の回答
No.2の回答に補足しておきます。 cos(nx)＝fn(cos(x)) となるような多項式fn(x)を(n次の)チェビシェフの多項式と言いますが、fn(x)はxのn次の多項式になります。 n＝1のとき、cos(1x)＝cos(x)より、 右辺のcos(x)をxで置き換えて、 f1(x)＝x n＝2のとき、cos(2x)＝2(cos(x))^2－1より、 右辺のcos(x)をxで置き換えて、 f2(x)＝2x^2－1 n＝3のとき、 cos(3x)＝4(cos(x))^3－3cos(x)より、 右辺のcos(x)をxで置き換えて、 f3(x)＝4x^3－3x 以下、cos((n＋1)x)＋cos((n－1)x)＝2cos(nx)cos(x)より、 fn+1(x)＝2xfn(x)－fn-1(x) ・・・(＊) という漸化式が得られるので、 f4(x)＝2xf3(x)－f2(x) ＝2x(4x^3－3x)－(2x^2－1) ＝8x^4－8x^2＋1 つまり、cos(4x)＝8(cos(x))^4－8(cos(x))^2＋1 f5(x)＝2xf4(x)－f3(x) ＝2x(8x^4－8x^2＋1)－(4x^3－3x) ＝16x^5－20x^3＋5x つまり、cos(5x)＝16(cos(x))^5－20(cos(x))^3＋5cos(x) というようにして、fn(x)を順次求めて行くことができます。 数学的帰納法により、漸化式(＊)を利用して、fn(x)が最高係数が2^(n－1)のn次の多項式であることが証明できます。 －1≦cos(x)≦1，－1≦cos(nx)＝fn(cos(x))≦1より、 チェビシェフの多項式で与えられるn次関数：y＝fn(x)のグラフは、 －1≦x≦1，－1≦y≦1 の正方形の中にスッポリと収まるお行儀の良い関数なので、 入試でもよく使われます。
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お礼
ご回答ありがとうございました とてもよくわかりました