fn(x)の式がよくわかりません

質問

よろしくお願いいたします。
大学受験レベルの話なのですが、
例えば
COSnx=fn(cos)みたいな式を見た時にfn(x)がなにを意味し、
どう処理をして良いかわからなくなります。
基本的な触りのお話で十分ですのでご教授よろしくお願いいたします。

回答No.3

cfv21 · ベストアンサー

No.2の回答に補足しておきます。
cos(nx)＝fn(cos(x))
となるような多項式fn(x)を(n次の)チェビシェフの多項式と言いますが、fn(x)はxのn次の多項式になります。
n＝1のとき、cos(1x)＝cos(x)より、
　右辺のcos(x)をxで置き換えて、
　f1(x)＝x
n＝2のとき、cos(2x)＝2(cos(x))^2－1より、
　右辺のcos(x)をxで置き換えて、
　f2(x)＝2x^2－1
n＝3のとき、
　cos(3x)＝4(cos(x))^3－3cos(x)より、
　右辺のcos(x)をxで置き換えて、
　f3(x)＝4x^3－3x
以下、cos((n＋1)x)＋cos((n－1)x)＝2cos(nx)cos(x)より、
　fn+1(x)＝2xfn(x)－fn-1(x)　・・・(＊)
という漸化式が得られるので、
f4(x)＝2xf3(x)－f2(x)
　＝2x(4x^3－3x)－(2x^2－1)
　＝8x^4－8x^2＋1
つまり、cos(4x)＝8(cos(x))^4－8(cos(x))^2＋1
f5(x)＝2xf4(x)－f3(x)
　＝2x(8x^4－8x^2＋1)－(4x^3－3x)
　＝16x^5－20x^3＋5x
つまり、cos(5x)＝16(cos(x))^5－20(cos(x))^3＋5cos(x)
というようにして、fn(x)を順次求めて行くことができます。
数学的帰納法により、漸化式(＊)を利用して、fn(x)が最高係数が2^(n－1)のn次の多項式であることが証明できます。

－1≦cos(x)≦1，－1≦cos(nx)＝fn(cos(x))≦1より、
チェビシェフの多項式で与えられるn次関数：y＝fn(x)のグラフは、
－1≦x≦1，－1≦y≦1
の正方形の中にスッポリと収まるお行儀の良い関数なので、
入試でもよく使われます。

お礼

ご回答ありがとうございました
とてもよくわかりました

回答No.2

arrysthmia

cos(nx) = fn(cos x) であれば、
fn(y) = cos(n・cos^-1 y) ということです。
この式によって、fn を定義しているのです。
「なにを意味し」の内容は、その式自身にあります。
＃ ここで cos^-1 y は、1/cos y ではなく、
＃ cos の逆関数という意味です。

この例の fn は、「チェビシェフの多項式」といって、
結果的に、多項式で表される関数となります。
「三角関数の倍角公式」について調べてみると
よいでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございました
とてもよくわかりました

回答No.1

noname#121811

例えば　fn(x)=x^n　と定義するならば、
fn(cos(x))={cos(x)}^n=cos^n(x)となります。cos(x)のｎ乗はcos^n(x)と表現されます。ｘの部分をcos(x)に変えただけです。

ｎは質問文のようにfの下に付く事もあるしf(n,x)=x^nのような書き方をする事もあります。単に表現方法の違いです。

お礼

ご回答ありがとうございました