ある関係式を満たす関数

質問

実数xの関数で、任意のx1,x2についてf(x1・x2)=f(x1)・f(x2)がなりたつようなfはどんな関数でしょうか？教えて下さい。f(x)=xになると思ったのですが、証明ができません。また、一般にこの性質を持つ写像には特別な名称は付いてないのでしょうか？(積でなく和のとき線形写像と名前が付いていたように。)

回答No.4

PRFRD · ベストアンサー

「任意の正の実数 x, y に対して f(xy) = f(x) f(y) を満たす関数」
だと思ったとしても，f(x) = x^a 以外に無数にあります．

上記のように考えると，結局この問題は g(x) = log(f(exp(x))) とおいて
　g(x + y) = g(x) + g(y) を満たす関数は何か？
という問題に帰着しますが，この解が g(x) = a x 以外に無数にあります．
（選択公理を仮定し，Hamel基を使って構成します．）

ちなみに g が連続，という条件をつけると g(x) = a x のみになるので，
質問にある f に関しても，そういった条件を課すと，f(x) = x^a のみになります．

連続な場合の証明ですが，記号が簡単なので g でやると，a = g(1) とおけば，
任意の有理数 q に対して g(q) = aq が成立することが示せます．
ここで任意の実数 x に対して x に収束する有理数列 q_1, q_2, ... を取ると，
　g(x) = g(lim_{n→∞} q_n)
　　　 = lim_{n→∞} g(q_n) （仮定：g の連続性を使った）
　　　 = lim_{n→∞} a q_n
　　　 = ax
となって証明されます．

回答No.3

koko_u_u

>上の任意のx1,x2,のところに"定義域内の"と付け加える必要があるみたいです。

すると、例えば定義域が 整数 の関数を考えると、無数に考えられますね。
(素数 p に対する f(p) を「適当に」決めれば、あとは因数分解で f(n) が決まる)

回答No.2

koko_u_u

>f(x)=x^aでした。(aは負でもよい)

a が負数の場合に f(0) はどうなるのか補足にどうぞ。

補足

aが負のときは0が、aが整数でない時は負の値が定義域にふくまれないようなので、上の任意のx1,x2,のところに"定義域内の"と付け加える必要があるみたいです。たびたびすみません。

回答No.1

koko_u_u

>f(x)=xになると思ったのですが、証明ができません。

f(x) = x^2 だって満たすでしょう。

補足

すみません。f(x)=x^aでした。(aは負でもよい)