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ある関係式を満たす関数
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「任意の正の実数 x, y に対して f(xy) = f(x) f(y) を満たす関数」 だと思ったとしても，f(x) = x^a 以外に無数にあります． 上記のように考えると，結局この問題は g(x) = log(f(exp(x))) とおいて g(x + y) = g(x) + g(y) を満たす関数は何か？ という問題に帰着しますが，この解が g(x) = a x 以外に無数にあります． （選択公理を仮定し，Hamel基を使って構成します．） ちなみに g が連続，という条件をつけると g(x) = a x のみになるので， 質問にある f に関しても，そういった条件を課すと，f(x) = x^a のみになります． 連続な場合の証明ですが，記号が簡単なので g でやると，a = g(1) とおけば， 任意の有理数 q に対して g(q) = aq が成立することが示せます． ここで任意の実数 x に対して x に収束する有理数列 q_1, q_2, ... を取ると， g(x) = g(lim_{n→∞} q_n) = lim_{n→∞} g(q_n) （仮定：g の連続性を使った） = lim_{n→∞} a q_n = ax となって証明されます．
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- koko_u_u
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>上の任意のx1,x2,のところに"定義域内の"と付け加える必要があるみたいです。 すると、例えば定義域が 整数 の関数を考えると、無数に考えられますね。 (素数 p に対する f(p) を「適当に」決めれば、あとは因数分解で f(n) が決まる)
- koko_u_u
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>f(x)=x^aでした。(aは負でもよい) a が負数の場合に f(0) はどうなるのか補足にどうぞ。
- koko_u_u
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>f(x)=xになると思ったのですが、証明ができません。 f(x) = x^2 だって満たすでしょう。
補足
すみません。f(x)=x^aでした。(aは負でもよい)
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aが負のときは0が、aが整数でない時は負の値が定義域にふくまれないようなので、上の任意のx1,x2,のところに"定義域内の"と付け加える必要があるみたいです。たびたびすみません。