差分法、差分近似

質問

差分法、差分近似とはどういうものでしょうか？

微分に関するものだと思うのです・・・。

初歩的な質問ですみません。

よろしくお願いします。

回答No.1

spring135

差分法は微分方程式の境界値問題、初期値問題の数値解放のひとつであり、実用的にはコンピュータを用いて大量計算をすることが前提となります。1次元から多次元まで、1階の微分方程式から高階の微分方程式まで取り扱うことができます。簡単のため1次元の境界値問題で話を進めます。
座標ｘの関数u(x)の1階微分du(x)/dxは
　du(x)/dx=(u2-u1)/Δx　　　　　（1）
で近似されます。ここでx軸上に2点x1,x2(x1<x2)をとり、x2-x1=Δxとしx1,x2におけるu(x)の値をu1,u2とします。つまりu(x1)=u1,u(x2)=u2です。Δxを小さくしていくと差分は微分に一致していきます。微分方程式
　du(x)/dx=f(x)
が与えられた時、上の２式から
　　u2=u1+f(x)Δx
が得られます。これを用いてu1が与えられればu2が得られます。f(x)=f(x1)とします。これは2点間の距離が小さいと前提しているからです。
　解法の手順は以下のようになります。　
　解析しようとしている範囲を細かく区切って（x1,x2,x3,,,,,xn)隣接2点間において上記のような差分をとり、境界条件として与えられる領域の端点x1の値u1をもちいてu2=u1+f(x1)Δxを求め、このu2を用いて同じ手続きでu3を求める。以下これを繰り返してunまで求めれば完了です。
　式（1）を微分の差分近似と言います。