- 締切済み
二階導関数の差分近似について
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
左辺 = Δ(a du/dx)_r / Δx_r ここで Δ(a du/dx)_r = (a du/dx)_r+1/2 - (a du/dx)_r-1/2 (a du/dx)_r±1/2 = a_r±1/2 (du/dx)_r±1/2 (du/dx)_r±1/2 = Δu_r±1/2 / Δx_r±1/2 Δu_r+1/2 = u_r+1 - u_r Δu_r-1/2 = u_r - u_r-1 ∴ (a du/dx)_r+1/2 = a_r+1/2 (u_r+1 - u_r) / Δx_r+1/2 (a du/dx)_r-1/2 = a_r-1/2 (u_r - u_r-1) / Δx_r-1/2 これらから質問の第１式が得られます。 質問の第２式は問題ないでしょう。 第３式は不思議ですね。 変形すると a_r±1/2 = a_r になってしまいます。 ひょっとして右辺にある添え字 r±1/2 は r±1 の間違いではないでしょうか？それなら自然に理解できる式です。 （素人ですのでそのつもりで。）
関連するQ&A
- ２階微分の差分法
こんにちわ。 現在、差分法にてプログラムを作っています。 やりたいことは、場所によって空間分解能を変え、重要な部分は細く計算し、そうでないところは分解能を下げて粗く計算したいと思っています。 その際、２階微分の空間分解能が変わる境界での差分はどのように書けばいいのでしょうか？ 何か確立された方法をご存知であれば教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- その他（プログラミング・開発）
- 数値解析の手法（差分法）について
現在、とある2元の1階偏微分方程式（解はu,vでそれぞれ右と左に進行する波）を数値解析によって解こうと考えています。 数値解析の手段として、差分法がよく用いられると思いますが、 現在、私は、場所に関してはuは後退差分、vは前進差分を使い、 時間に関しては前進差分を使って解いています。 ネットでは場所に関しては中心差分、時間に関してはルンゲ=クッタやリープフロッグなどが 使われていることが多く、私もこの２つを用いて解いてみました。 偏微分方程式には線形項が含まれていたため、 線形問題に対する制約であるΔt/Δx << 1は最低満たすように刻み幅をいろいろ取り、 計算時間も辞さず計算機を動かしてみましたが、 ノイズが消えず、解析解に限りなく近づくには至りませんでした。。 Δt/Δx=0.0001なども試したのですが・・・ そこで、諦めて違う差分法を試し、 場所に関して、uは後退差分、vは前進差分を使い、 時間に関しては前進差分を使って見たところ、 Δt/Δx=0.01程度で解析解に近い、なかなか精度の良い数値解を得ることが出来ました。 2次の差分では上手くいかず、1次の差分だとわりかし上手くいく・・・ 精度的には中心差分やルンゲ=クッタなどの方がいいと思うのですが・・ 正直不思議でなりませんでした。。。 最初に試した差分法のコードミスかと思い、何回もコードを確認し直しましたが、 やはり解析解に近づくには至りませんでした。 こんなことってあるのでしょうか？？ 差分法でも場合によって使い分ける必要があるということでしょうか・・？ その場合分けするときの指標など、知っておられる方、教えて頂けると助かります。 問題によって
- 締切済み
- 数学・算数
- テイラー近似式の求め方について
大学の授業でテイラー近似式の求め方を習ったときの板書の記述に、 「関数f(x)を２次関数P(x)で近似するとき、接点のx座標を x = a とすると、P(a) = f(a) であるから P(x) = f(a) + (x-a)(xの一次式) が成り立つ」 というような部分があったのですが、どうしてこのような式が導き出せるのでしょうか？ また、その授業ではこの後、(xの一次式)をbx+cと置いてからP(x)の式を微分していき、f(x)とP(x)の接点での傾きや２階微分も一致していることから、bとcをaやf'(a)やf''(a)を用いて表して、それをP(x)の式に代入して２次関数による近似式を導いていました。 元の関数と近似式の、接点だけでなく、傾きや２階微分も一致する理由もできれば教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 差分積分、数値積分の誤差について
学校でプログラミングの授業を受けています。 プログラミングといっても情報処理系の学科ではないため、基本的なことばかりなのですが その授業中に聞いたことでよくわからなかったことがあります。 走り書きでメモしたので正しいかはわかりませんが 差分積分と数値積分の誤差についての内容だったと思います。 差分積分って言葉自体あまり馴染みが無いのですが、差分近似と考えていいのでしょうか？ 差分近似ですと前進差分、後退差分、中心差分によって生じる誤差の違い、 数値積分に関しては区分求積法、台形公式法などの誤差の違いのことを言っているのでしょうか？ 差分近似によって生じる誤差の違い、数値積分によって生じる誤差の違いについて どなたか説明して頂けないでしょうか？簡単なもので全然構いません。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- C・C++・C#
- エクセルで１次近似をもとめたい
エクセルで１次近似を求めたいので、調べたところ、 ヘルプにはLINEST関数がありました。そこで、 例にあった LINEST({1,9,5,7},{0,4,2,3}) をセルに入力したところ、答えはｘの係数しか でてきません。定数項を取得する方法がわかるかた 教えてください。
- ベストアンサー
- オフィス系ソフト
- 微分係数と導関数(数学II)
お世話になっております。数学IIの微積の入り始めからの質問です。 どうも、極限値から微分係数を定義するあたりから、掴み損ねているのですが、まず、微分係数を図形的に捉えて、これを任意の曲線上の点上の接線の傾きを表すこと。 導関数について、これを定義通りに公式から導く。次いで導関数f'(x)のxに色々な値aを代入すると、元の関数y=f(x)のxが限り無くaに近付く時の平均変化率つまり微分係数になる。など色々説明されていますが、始めグラフで説明されていたのが、極限値あたりから途端に言葉だけの説明になり、当初平均の速さと瞬間の速さをうまく関数に対応させていた考えが、途中で途絶えてしまった感があります。そこで、単純な導関数から微分係数を求める問題をグラフから捉えてみようと図に落としてみました。 例題 関数f(x)=x^2-4xのx=0,3における微分係数を求めろ。 解 f'(x)=2x-4 が与式の導関数であるから(ここは機械的に計算しました)、 f'(0)=-4 f'(3)=2 微分係数は接線の傾きであること、接線の定義上放物線と交わるような直線とはならないし、また、微分係数はxが限り無く0または3に近付くときの平均変化率の値であることを考えると何となくですが、添付画像のようになりました。何でも良いのでアドバイスいただけると嬉しいです。 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数値計算の差分の取り方について
1回の偏微分∂f / ∂x→( f(i+1,j) - f(i,j) )/dx というような差分近似したとします。とにかく差をとって距離で割るということですね。これもいくつかバリエーションがありますが、だいたい同じ意味だと思います。 2回微分∂^2f / ∂x^2 → ( f(i+1,j) + f(i-1) -2*f(i,j) ) / dx^2 となります。1回微分のさらにもう1回微分ということでこれも分かりやすいです。y方向の微分は同じです。 では、∂^2 f / ∂x∂y はどうやって差分をとるものでしょうか。言葉で説明すると、x方向の差分をy方向の違う点で２つとってそれのy方向で差分をとればいいという考え方がありますが、y方向の微分をx方向の違う点で２つとってそのx方向の差分をとるということもできると思います。考え方が２つあるわけですが、どちらかを採用するとx,y方向に不平等が生じてしまいます。なのでこの方法はダメなのではないかと思いますが。有限要素法みたいに内挿関数を使ってそれを使ってやるということもあるのかなと思いますが。一応差分でやると決めたことは決めたわけですが。よろしくお願いします。
- 締切済み
- その他（応用科学）
- 三階微分の意味づけは？？
ある整式で表され、最高次の係数の符号が一致する関数ｆ、ｇでｆ（ｘ）＝０、ｇ（ｘ）＝０なる解集合が一致（重階は異なる解として）し、同様にｆ、ｇの1階微分の根（ｆ’＝０、ｇ’＝０の根）2階微分の関数の根（ｆ”＝０ｇ”＝０の根）の集合がそれぞれ一致し、3階微分の根の集合が異なるようなｆ、ｇの例をあげてください。二回微分の形までは、零点や傾きや変曲点等の意味づけができますが、三回微分はグラフの形にどう表れてくるのかを知りたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開と一次近似での剰余項の違いの謎
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC と ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 を見比べて思ったのですが 関数f(x)の一次近似(n=1の場合のTaylor定理,つまりfが一階微分可能な時のTaylor展開)は f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2 でこのR_2は R_2=f''(c)/2!(x-a)^2 …(*) となっているのですよね(∵Taylor定理)。 この剰余項には二階微分係数f''(c)が出てきてますが, 今,fは二階微分可能であるとは保証されてないのですよね。 従って,(*)とは書き表せないと思うのです。 しかし,Taylorの定理では剰余項は高階微分係数になっていて矛盾だと思うのですが, もしかして,fが一階微分可能で二階微分可能かは必ずしも保証されてないのであれば, fの一次近似式は f(x)=f(a)+f'(c)(x-a) ただし,c∈(a,x) となるのでしょうか? そして,ここではc=aではないので, f(x)≒f(a)+f'(a)(x-a) と書ける.. という解釈で正しいでしょうか? ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC でのfは二階微分可能であることが暗黙に仮定されてるのでしょうか? すいません。分かりやすくおおしえください。
- 締切済み
- 数学・算数
- ブリルアン関数の傾き
ブリルアン関数 B(x) = (2S+1)/2S coth ((2S+1)x/2S) - 1/2S coth (x/2S) のx=0での傾きが (S+1)/3S となるそうなのですが、 式が簡単なので微分して求めようとしたところ、案外うまく 行きませんでした。ブリルアン関数の第一項と第二項を うまくまとめることができず、x=0での傾きが求められない といった感じです。どうかヒントを教えてください。
- ベストアンサー
- 物理学
