y=ｘ＾ｘという関数はありますか？

質問

y=ｘ＾ｘ　【ｘのｘ乗】という関数はありますか？
ありますか？というより、数学またはその他の分野で意味のある関数として研究されたことがありますか？
また、この関数は　実数X＜0のとき　どのようなグラフになりますか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

関数はありますね。
x>0では、ちゃんとグラフも書ける。
x<0では、xが整数のときだけyの（実数の）値がある。
しかしこの関数を研究上で応用して使うような研究は知りません。

しかし関数そのものは
y=x^x
だけでなく
y=x^(x^x), y=x^(x^(x^x)), ... , y=x^(x^(x^(x^ ... )))...)
も多くの先人たちによって良く調べられた関数でもありますね。

y>0では2次元のグラフを描くソフトで簡単にプロットできます。
GRAPES,Function Plotなどのフリーソフトを使えば
式をそのまま入力するだけでグラフが描けます。
x=0の時は0^0の値が定義の問題で1とする場合や0とする場合がありますね。
x<0に対しては xが整数の時だけ値が存在し、整数でない時は関数が定義できません。
x<0の時, -x>0なので
y={1/(-1)^(-x)}*{1/(-x)^(-x)}
となって、{1/(-x)^(-x)}は実数値が確定しますが、
{1/(-1)^(-x)}は「-xが整数の時のみ」実数となるので、
xが負の時はのxが整数のときだけ関数値が存在します。

関数のグラフを添付します。

お礼

分かりやすいグラフありがとうございます。
やはりｘ＜０では、整数しか定義できないのですね。
０＜ｘ＜１に極値があるというのがちょっと面白いと思いました。
（ちなみに極値はどうやって求めればいいのでしょう？）

回答No.7

info22

#3,#5,%6です。
A#6でダブルミスしました。

> f'=(x^x)log(x*e) =0
> と訂正して下さい。
正しくは f'⇒　y'
y'=(x^x)log(x*e) =0

なお、y'=0とするxは
0<x<1 では x*e=1 ⇒ x=1/e
だけですね。このxでA#3のy=x^xのグラフが極小値をとります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。恐縮です。

回答No.6

info22

#3,#5です。
A#5の
> f'=(x^x)log(x*e) =0
f'は　y'　の書き写し間違いですので
f'=(x^x)log(x*e) =0
と訂正して下さい。

回答No.5

info22

#3です。
>０＜ｘ＜１に極値がある
>極値はどうやって求めればいいのでしょう？
ごく普通やり方で求まります。

f'=(x^x)log(x*e) =0　から　x=1/e≒0.3678794
このxで極小値 y=(1/e)^(1/e)≒0.6922006
が得られます。

自分ででできることは質問する前に、自分でやるようにして下さい。

回答No.4

arrysthmia

これかな？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC%E8%A1%A8%E8%A8%98

x↑↑2

お礼

ありがとうございます。
やはり純粋な数学の世界でしか扱われていなんでしょうかね。
自然界なんかで見られたら面白いと思ったのですが。

回答No.2

kentaurino

ｘ＾ｘ、というか対数をとったx log x という関数は
統計力学で出てきたような気がします。エントロピー関連の何か(忘れた)。
探すと近似公式もあるようなので、研究はされたんじゃないですかね。

お礼

ありがとうございます。
統計力学ですか？わからないです・・・（笑）。

回答No.1

yoshy 1980（@yoshy1980）

研究はしたことないですが、普通に成り立つと思います。

4=2^2
9=3^3
256=4^4

グラフは、でこぼこで凄く細長い物になります。
(一度書いてみてください)

お礼

ありがとうございます。
でこぼこですね。