数列を用いた証明

質問

問題「∑[u、k=1]k^4がu(u+1)を因数にもつことを証明せよ。」

解法としては、kについての恒等式
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)=5k(k+1)(k+2)(k+3)が成り立つことを用い解いていくのですが、なぜこの恒等式が出てくるのかがわかりません。

わかる方お願いします

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

う～ん, これどこまで知っておくべきなのか.... 差分法とのからみなんだけど.... まあ「知識」ならいいか.
まず x(x+1)(x+2)(x+3) のように「1ずつ大きくなる数の積」を「上昇べき」ということがあります (逆に x(x-1)(x-2) のようなものは「下降べき」と言います). そして, 例えば x(x+1)(x+2)(x+3) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x と「上昇べきは普通のべきの和に展開できる」のですが, この逆に「ふつうのべきを上昇べきの和に展開することもできる」のです. x^2 = x(x+1) - x, x^3 = x(x+1)(x+2) - 3x(x+1) + x など.
しかも, 「微分」 (d/dx)x^4 = 4x^3 と類似の性質として「差分」 x(x+1)(x+2)(x+3) - (x-1)x(x+1)(x+2) = 4x(x+1)(x+2) などが成り立ちます. そしてそれぞれの逆操作である「積分」と「和分」も対応し, 「x^4 を積分すると x^5/5 になる」のと同じように「k(k+1)(k+2)(k+3) の和分を求める (つまり k = 1～n までの和をとる) と n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5 になる」のです.
このように「上昇べきの和」で表現すると, 差をとったり総和をとったりするのが簡単になります. 今の例では k^4 を「上昇べきの和」で表現できれば事実上終了ということになります.

お礼

ご丁寧にありがとうございました！
少し難しかったですが、わかりました！
大変助かりました

回答No.2

Tacosan

その「解法」はまさに「1つの証明」でしかないので, 他の方法で証明してもかまいません. その恒等式を使わないと証明できないってこともないので, 無理に理由を求めることはないと思いますよ.
この恒等式があれば簡単に証明できるし, 思い付かないと面倒, ただそんだけ.

補足

他のやり方ならできるんですけど、このやり方もマスターしておきたいんです。
できれば、この恒等式がどのようにしたら出てくるのか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

awfry

右辺は展開してください。その後は、両辺について、Σの和を考えてください。右辺は公式が、左辺は、和をとっていけば、大部分は打ち消しあいます。　

（ｋ＋１）＾２－ｋ＾２＝２ｋ＋１について、上述のことをやると、　

Σ｛（ｋ＋１）＾２－ｋ＾２｝＝２Σｋ＋ｎ　

（ｎ＋１）＾２－１－ｎ＝２Σｋ

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）÷２となり、公式が導かれるんですよ。

補足

回答してくださったのはありがたいのですが、証明の仕方がわからないのではなく、kについての恒等式がどこから導き出され証明に用いられているのかがわからないんですが…
問題文でこのkの恒等式が与えられているわけではないのに、解法では急にこのkの恒等式が現れるので意味がわからないんです。