等差数列の証明

質問

授業で配られたプリントに載っていた問題が恥ずかしながら分かりません。
(問題)　　{a＿n}、{b＿n}が等差数列ならば次の数列もそうであることを証明せよ。
(1)　{(a＿5n)}
(2)　{(2a＿n)-(3b＿n)}
(3)　{(a＿2n)+(b＿3n)}
an+1からanを引いて証明する方法はなんとか分かるのですが、この問題は解答を見てもサッパリ分かりません。どうか分かりやすく教えてください。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

直接書くならば、以下のようになります。

anの公差をd、bnの公差をeとすると、
an=a1+(n-1)d、bn=b1+(n-1)e
と書けます。（これは良いですね？）

この式のnのところを5nに置き換えたりとか、an,bnを何倍かしたり、
足し引きして計算します。

a5n=a1+(5n-1)d=a1+{5(n-1)+4}d=(a1+4d)+(n-1)(5d)
となって、これは初項a1+4d、交差5dの等差数列。
a5、a10、a15、・・・と５飛びで見ているので、公差が元の５倍なの
はすぐわかる。

2an-3bn=2a1+2(n-1)d-3b1-3(n-1)e=(2a1-3b1)+(n-1)(2d-3e)
となって、これは初項2a1-3b1、公差2d-3eの等差数列。
2d=3eのときは一定の数になってしまう。このときも、公差が０
の等差数列と考える。
たとえば、anの公差が3、bnの公差が2とすると、anを２倍してできる
数列と、bnを３倍してできる数列の差からできる数列は、an,bnの
初項が何であっても、一定になってしまう。これはちょっと面白い。

a2n+b3n=a1+(2n-1)d+b1+(3n-1)e=a1+{2(n-1)+1}d+b1+{3(n-1)+2}e
=(a1+d+b1+2e)+(n-1)(2d+3e)
となって、これは初項a1+d+b1+2e、公差2d+3eの等差数列。
このときも、2d+3e=0のときは一定の数になってしまうが、公差が０
の等差数列と考える。

要するに、a+(n-1)dの形に変形することを目指すのです。
（計算合ってるかはご確認を）

直接書かなくても、漸化式a(n+1)-an=dを使うだけでもできることは
できますが・・・最初はこんな風に直接書いた方がわかりやすいかも。

お礼

長く丁寧に解説してくださってありがとうございますｍ（　）ｍ
漸化式はよく分からないのですが、式変形の意味が分かりました。忘れないように練習してテストに備えたいと思います。ありがとうございました！

回答No.3

kkkk2222

{A＿n}=A[n]と表記します
a[n]=a1+(n-1)d
b[n]=b1+(n-1)d'

(1)a[5(n+1)]-a[5n]=5d
(2){2*a[n+1]-3*b[n+1]}-{2*a[n]-3*b[n]}
　　=2*{a[n+1]-a[n]}-3{b[n+1]-b[n]}
　　=2d-3d'
(3){a[2(n+1)]+b[3(n+1)]-{a[2n]+b[3n]}
　　={a[2(n+1)]-a[2n]}+{b[3(n+1)]-b[3n]}
　　=2d+3d'

<an+1からanを引いて証明する方法はなんとか分かる>
<この問題は解答を見てもサッパリ分かりません>・・・というのは
○上記の解法 がわからないのか
○上記の解法以外を知りたいのか・・・不明です
で上記の解法を詳説します

●＜n+1番目の項からｎ番目の項を引いたら定数＞⇔等差数列
　　＜A(n+1)-A(n)=定数＞⇔等差数列

(1)　数列a[5n]は　　a[5],　　a[10],　a[15],　　a[20],・・・,
a1+4d,　a1+9d,　a1+14d,　a1+19d・・・　
a[5n]=a1+(5n-1)d=(a1+4d)+(n-1)*5d=E[n]

(2)同様に
2*a[n]=2*{a1+(n-1)d}=2*a1+(n-1)*2d=F[n]
3*b[n]=3*{b1+(n-1)d'}=3*b1+(n-1)*3d'=G[n]

(3)同様に
a[2n]=a1+(2n-1)d=(a1+d)+(n-1)*2d=H[n]
b[3n]=b1+(3n-1)d'=(b1+2d')+(n-1)*3d'=K[n]

このあとは　＜A(n+1)-A(n)=定数＞⇔等差数列　を適用します
感覚的には全て公差が何倍かされているだけでほぼ自明
なんですが、証明となると、どこまで書けばよいのか・・・
E[n]、F[n]、G[n]、H[n]、K[n]と置きなおすと安心感があります

お礼

はい、上記の解法が分かりませんでした。
丁寧にありがとうございます。この問題はもっと練習してかならずできるようにがんばりたいと思います。ありがとうございました！

回答No.1

tatsumi01

等差数列の性質
(0) 初項 a_1 と公差 d が決まれば第n項 a_n = a_1 + (n-1)d と決まる
(0') 等差数列　⇔　a_(n+1) - a_n = d (d は定数)

この性質を使います。
具体的には、(1) であれば c_n = a_(5n) と置いて、c_n の一般項を求め、これから c_(n+1) - c_n を計算して (0') が成立することを示します。
(2), (3) も同様。

お礼

はい、なんとか分かることができました。回答してくださってどうもありがとうございます。