数列の問題です

質問

期末テストが近いので勉強していたのですが…
　　　ｎ
Ｓ＝ Σ ｋ・２^ｋ－１
　　 k=1
の解法よくわかりません。皆様よろしくお願いします。
答えは　（ｎ－１）２^ｎ　＋１　です

回答No.1

Cake0530

教科書に載ってません？これ。ポイントは“公比をかけて、ズラして引け”って奴ですか。これって良く出てくるので今回の試験をついでに覚えちゃいましょうね。応用範囲広いし。

　等比数列の和の導き方覚えてますか？例えばａn＝３^nの第ｎ項までの和。和をＳとして

　Ｓ＝３＋３*３＋３*３*３＋・・・＋３^n
３Ｓ＝　　３*３＋３*３*３＋３*３*３*３＋・・・＋３^n＋３^(n+1)

　両辺引いて

　－２Ｓ＝３－３^(n+1)　⇔Ｓ＝２*３^(n+1)－６　　ですね。教科書に載ってると思います。

　で、問題ですが同様にやります。和をＳと置いて

　　Ｓ＝（１*２＋２*４＋３*８＋・・・＋ｎ*２^n）－１　（・・・Ａ）

　公比（＝２）をかけて

　２Ｓ＝　　　　１*４＋２*８＋３*１６+・・・＋（ｎ－１）*２^n＋ｎ*２^(n+1)　－２　（・・・Ｂ）

　Ａ－Ｂで

　－Ｓ＝２＋４＋８＋１６＋・・・＋２^n－ｎ*２^(n+1)＋１

　　　＝２^(n+1)－２－ｎ*２^(n+1)＋１　　（∵等比数列の和の公式）

　　　＝（１－ｎ）２^(n+1)－１

　∴　Ｓ＝（ｎ－１）２^(n-1)＋１　　（答）

　　まぁ、知っていればごく簡単に解ける問題ですし、先に言ったように出題率・応用範囲広いですから、これを機にますたーしちゃいましょぉ。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
なるほど公比をかけるんですか。
よくわかりました。頭のもやもやがやっと晴れたような気がします。