台形の二等分線について質問です。

質問

台形を二等分する直線を書きたいのですがその直線は「～の一点を通れば必ず二等分される」という形で表してほしいです。
またできないならなぜか。よろしくお願いします。

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平行四辺形でいえば対角線の交点を通る直線というわけです

回答No.7

owata-www

さらに訂正
等脚台形だけでなく、一般的な台形でも言えました

よく見たら＃５さんが解説していらっしゃいましたね

お礼

いえいえ。ありがとうございました。

回答No.6

owata-www

＃１ですが…

あ～、ごめんなさい　とんでもない勘違いでした　私の回答は撤回を

ついでに言っておくと等脚台形においては、上底と下底の中点を通り、その両直線から等距離にある点をPとおくと
Pを通る直線のうち、上底と下底それぞれを通過する直線は面積を２等分します

あとは、他の回答者の方が仰るとおりです

回答No.5

htms42

「ある範囲で」２等分されるという点は存在します。
でも「任意の」ということでは存在しません。

１つ見つけます。
上辺の中点をＭ、下辺の中点をＮとします。
ＭＮで面積は２等分されます。

ＭＮの中点をＰとします。
上辺（上辺の長さ＜下辺の長さとします）の上の任意の点をＡとします。ＡＰを延長して下辺との交点Ｂを求めます。ＡＢで面積は２等分されます。△ＡＰＭと△ＢＰＮは合同になるからです。
このような方法で２等分されるのはＡが上辺の範囲にある間だけです。

Ｐを通る上辺に平行な線を引くと高さの等しい上下２つの台形に分かれます。この２つの台形の面積が異なることは明らかです。
下の台形の面積の方が大きいですから全体の重心はＰよりも下側になります。・

※平行四辺形では上下の辺が平行であるだけでなくて左右の辺も平行でした。辺上の任意の点で可能というのがこれが理由になります。
※上辺の長さ＝０とすると三角形です。
　頂点と対辺の中点を結ぶ線を引くと面積が２等分されます。３中線の交点が重心です。重心を通る３つの中線は面積を２等分します。しかし重心を通って面積を２等分する線はこの３つの線以外にはありません。
重心を通って底辺に平行な線を引いてみてください。面積は４：５に分割されます。面積を２等分する線は重心よりも下を通ります。
台形は平行四辺形と三角形が組み合わさったものです。三角形で御質問の条件を満たす点が存在しないということが台形の方にもつながってきます。

お礼

後ほどゆっくり紙に書いて考えてみます。ありがとうござました。

回答No.4

felicior

ちょっと考えてみましたが、ある一点(Ｐとします)を通る直線が全てその図形の面積を
二等分するには、その点Ｐを中心に直線をわずかに回転させた時、両側の領域で交換
される２つの図形の面積が常に等しいことが必要条件となりますね。

その回転角θが十分小さいと、(元の図形に穴があったり凹みがあったりしない限り)
２つの直線に挟まれた２つの図形は共に角θを頂角とする二等辺三角形になります。
角θが共通ですから、両者の面積が等しいのは合同な二等辺三角形の時ですが、
これは結局元の図形が点対称で、点Ｐが対称の中心になっている時です。
これは必要条件でしたが、明らかに十分条件でもあります。

台形は(平行四辺形にならない限り)点対称ではないので、お探しのような点は
存在しないことになります。

かなりはしょりましたが、微積分をご存じならばもうちょっと正確に説明できそうです。
ただし元の図形に穴があったり分裂していても良いなら、点対称ではない例がいくつか
思い浮かびます。

お礼

なるほどなぁ・・・いやぁ。本当にありがとうございます。
感謝感謝です。

回答No.3

Mr_Holland

任意の台形について「～の一点を通れば必ず二等分される」ということは言えないと思います。
　なぜならば、＃２さんが面積の２等分線を一つ示されていますが、これ以外に、上辺・下辺と平行な面積の２等分線や、頂点Ａを通る面積の２等分線を求めたところ、それらの交点は１点で交わらないからです。
　ちなみに、上記の３つの面積の２等分線が１点で交わる条件を求めてみましたところ、（上辺）＝（底辺）という関係が導かれましたので、平行四辺形でなければ「～の一点を通れば必ず二等分される」ということは言えないとおもいます。

　なお、＃１さんが重心ならば面積を２等分することを言っておられますが、重心は重量重心ですので、面積を二等分するものとは異なると思います。
　念のため、＃１さんが紹介されたリンク先の台形の重心の位置に関する公式を使って面積を求めましたところ、台形の面積は２等分されていませんでした。

お礼

ふぅむ。ああ。なるほどなぁ・・・・
感謝です。ありがとうございました。

回答No.2

sanori

こんばんは。

１．上底の二等分点Ｐを定規とコンパスで求める。

２．下底の二等分点Ｑを定規とコンパスで求める。

３．直線ＰＱを引く　＝　台形の二等分線

２つに分けられた台形の面積は、
（上底／２　＋　下底／２）×　高さ　÷　２
　＝　（上底　＋　下底）／２　×　高さ　÷　２
　＝　（上底　＋　下底）　×　高さ　÷　２　÷　２
　＝　元の台形　÷　２
となりますから、ちゃんと面積を二等分しています。

ご参考になりましたら。

お礼

すみません。私の質問の仕方が悪かったようです。
「～の一点を通る直線」の「～」が知りたいのです。
失礼しました。

回答No.1

owata-www

重心を通れば必ず２等分されます

http://www4.ocn.ne.jp/~katonet/kagaku/kousiki/menseki.htm

お礼

ありがとうございます。感謝感謝です。