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n次元ベクトルの線型独立について
old_shoの回答
論理的な問題と、独立・従属の関係と、どっちが縺れているのでしょうね。おさらいのような話で恐縮ですが、 論理的な問題です: １）Ａならば、Ｂである。 「ｐ１，ｐ２，ｐ３が線形独立であれば、ｐ１，ｐ２は線形独立である。」 対偶は、 ２）Ｂでないならば、Ａでない。 「ｐ１，ｐ２が線形独立でないならば、ｐ１，ｐ２，ｐ３は線形独立でない。」 言い換えると、 「ｐ１，ｐ２が線形従属であれば、ｐ１，ｐ２，ｐ３は線形従属である。」 この１）と２）は同値ですから、一方を証明すれば他方も証明されたことになります。 あなたが＃２で補足に挟まれた、 「ｐ１，ｐ２，ｐ３が一次従属のとき他の2個のVectorも 一次従属である。」 という命題は、 ３）Ａでないならば、Ｂでない。 これは、１）、２）とは同値ではありません。 独立・従属の問題です： ○二個のベクトルｐ１、ｐ２について、線形従属であれば、ある n があって ｐ１＝n ｐ２ とできる。独立であれば決してそのようにならない。したがって、独立のｐ１、ｐ２であれば、 a ｐ１ + b ｐ２ で生成される空間は、二次元空間（平面）である。 従属であればそれは、一次元空間（直線）を生成する。 ○三個のベクトルｐ１、ｐ２、ｐ３について、線形独立なら a ｐ１ + b ｐ２ +c ｐ３ は、三次元空間を生成する。（したがって、a ｐ１ + b ｐ２ で二次元空間を生成しているはずなので、ｐ１、 ｐ２ が線形独立であるのは当然なのですが。） 三つが線形独立でない、すなわち線形従属であれば、それは、三次元より低い次元の空間を生成する。二次元かもしれないし、一次元かもしれない、それは、三つのうちのどういう組み合わせで従属になるかによって決まります。その組み合わせはいくつか出来る訳ですが、ｐ１とｐ２が従属関係であるためにその二つと独立なｐ３を加えても平面しか生成出来ないこともあれば、ｐ１とｐ２が独立であるが、ｐ１＋ｐ２とｐ３が従属関係になるのかもしれない。それらを一気に表現出来る手が、 a ｐ１ + b ｐ２ +c ｐ３ ＝ ０ が成立するのがどんな場合かという話ですね。 こんな所で如何でしょうか。
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