- ベストアンサー
1,1/2,1/3,・・・・,1/nの累乗の総和の収束・発散について
Tacosanの回答
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
k>1 で収束, 0<k≦1 では発散です. k が偶数のときは π^k の有理数倍となることが知られています (オイラー) が, 奇数のときにはあまり知られていません. せいぜい「k=3 のときは無理数」とか, そんなレベルです. オイラーは sin x の 2つの展開形 sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... = x(1-x^2/π^2)(1-x^2/(2π)^2)... から両辺の係数を比較するという形で求めていますが, 今だとフーリエ展開から持っていく方が安全なような気がします.
関連するQ&A
- 無限級数の収束・発散の問題
正数列{an}について、無限級数Σan^2 が収束するとき、無限級数Σan/n は収束するか発散するか示せ。 という問題が分かりません。 どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解析の問題です。収束 発散 級数
1、正項級数Anが収束するなら、正項級数An^2も収束することを示せ。 2、級数Anは収束するが、級数An^2は発散するような例を作れ。 3、級数Anが収束し、数列{Bn}が有界で単調増加なら級数AnBnは収束することを示せ。 どなたかお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列 1/(n+1)+1/(n+2)…1/(n+n) の収束について
----------------------- 数列{an}を an=1/(n+1)+1/(n+2)…1/(n+n) とする。ただしn∈Nとする。 (1)この数列は収束する。 (2)n→∞のとき、0≦an≦1となる。 ----------------------- を示したいのですが、どのように導けばよいのかさっぱり解りません。 (1)で、この数列が収束することは単調増加することと下に有界であることから示せました。 (2)は解けずにいるのですが、疑問点があります。 n=1のときに、a1=1/2となり、数列が単調増加をすることから、0≦anということは有り得ないのでは?と思うのですが…。 このことと、大雑把な道筋を教えてください。 細かい計算は自力でやりたいので…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この数列は発散しますか?詳しい方、教えてください!
こんにちは。 数III、勉強しはじめたばかりで、極限のところでうーん、なのですが。 数列anの部分和が極限で収束するとき、数列anは0になる、 と教科書に書いてあります。 でも、何かの拍子に見た覚えがあるのですが、 an=(√(n+1)-√n )の部分和ですが、どう考えても、打ち消し合って、 (teres~とか先生がおっしゃっていましたが)発散すると思うのですが、an は0に収束するんじゃないかと思います。ひょっとして( )のあるなしで 変わるのでしょうか? もしかすると、anは0に収束するけど、発散する、ということですか? これはどのように考えたらいいですか?もしかすると高校では扱えないよう な話なのでしょうか。詳しい方、よろしくお願いします!
- ベストアンサー
- その他(学問・教育)
- 級数の収束・発散について
次の問題について教えていただきたいです。 正の実数列{a_n}について Σa_n=∞ 成り立つとき (1) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n) の収束・発散を判定せよ。 (2) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n)^2 の収束・発散を判定せよ。 以上です。級数は3つともすべてn=1~∞の和です。 (1),(2)ともに分数の分母は和,和の二乗です。 (1)は発散・(2)は収束と結果は予想が容易につくのですが証明がさっぱりです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 収束か発散かを示したいです。
Σ1/(nlog(n))が発散するのか収束するのか示したいのですがわかりません。 Σ1/(n^2)が収束することを用いるとできるのでしょうか? 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列AnとBnについて、An=αに収束し、Bnはβ
数列AnとBnについて、An=αに収束し、Bnはβに収束するとする。このとき、 lim(An+Bn)=α+β をε-N論法で示せ。 お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一様収束について教えてください
整数nで添字づけられた数列(an)n=-∞から∞ についてnを限られた範囲で各項の絶対値を取って考えた部分和Σ(n=-MからM)|an| がM→∞としたとき有界だとする。(つまりΣ(n=-∞から∞)anが絶対収束している) このとき関数列fm(x)=Σ(n=-mからm)ansin(nx)が一様収束していることを説明せよ という問題です nやmを右下に小さく表示する記号がわからず 読みにくくてすいません どなたかわかる方教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 自分も実際にk=3のときは電卓で計算したのですが、明らかに無理数という感じでした。 オイラーは天才ですね。