数列の収束発散

質問

Σ＾∞ {1-(-3)^k}/2^(k-1)
この級数の収束発散を調べます。

まず、部分和を考えて
Σ＾n {1-(-3)^k}/2^(k-1)
=4+(-4)+7+(-10)・・・・{1-(-3)^n}/2^(n-1)
で、雰囲気的に振動しそうですが、
これを論理的に示すのにはどのようにしたらよいでしょうか？

数列自体の規則性が見抜けないため、方法が考え付きません。
このような場合の指針をご教授いただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

Σ {1-(-3)^k}/2^(k-1) = Σ (1/2)^(k-1) + Σ 3(-3/2)^(k-1) と変形してみます。
Σ (1/2)^(k-1) は、公比の絶対値が 1 未満の等比級数だから、収束します。
よって、Σ {1-(-3)^k}/2^(k-1) の収束発散は、Σ 3(-3/2)^(k-1) の収束発散と
一致するのですが、Σ 3(-3/2)^(k-1) は、公比の絶対値が 1 より大きい等比級数
だから、発散します。故に、Σ {1-(-3)^k}/2^(k-1) は、発散です。

お礼

回答有難うございました。
式の変形、参考になりました。
二項目は公比が-3/2となっていて、r＜-1で振動ではないのでしょうか？

回答No.3

arrysthmia

振動 ⊂ 発散

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。級数Σa_kについて、Σa_kが収束するならば、lim_{k→∞}a_k = 0　となることはご存知ですか？
（知らないならば、解析学の教科書にのっていると思いますのでご自分で調べてください。）

さて、質問についてですが、この対偶により

lim_{k→∞}{1-(-3)^k}/2^(k-1)　は発散するから、与えられた級数は収束しない。