この数列は発散しますか？詳しい方、教えてください！

質問

こんにちは。
数III、勉強しはじめたばかりで、極限のところでうーん、なのですが。

数列anの部分和が極限で収束するとき、数列aｎは０になる、
と教科書に書いてあります。
でも、何かの拍子に見た覚えがあるのですが、

an＝（√（n＋１）－√n　）の部分和ですが、どう考えても、打ち消し合って、
（tereｓ～とか先生がおっしゃっていましたが）発散すると思うのですが、an
は０に収束するんじゃないかと思います。ひょっとして（　　）のあるなしで
変わるのでしょうか？

もしかすると、anは０に収束するけど、発散する、ということですか？
これはどのように考えたらいいですか？もしかすると高校では扱えないよう
な話なのでしょうか。詳しい方、よろしくお願いします！

回答No.2

noname#224896 · ベストアンサー

＞もしかすると高校では扱えないような話なのでしょうか。
そんなことはありません．
例外があるということを学習する良いチャンスです．

＞もしかすると、anは０に収束するけど、発散する、ということですか？
正解です．
====================================================
まずは，一般項から，
an＝（√（n＋１）－√n　）
＝１／{√(n+1)　＋　√ｎ}＜１／２√ｎ

(n→∞)lim｛an｝
＝(n→∞)lim［１／{√(n+1)　＋　√ｎ}］＜(n→∞)lim１／２√ｎ＝０

(n→∞)lim｛an｝＝０

（）は特に関係ありません．
確かに，括弧を外した状態で，
ずっと足していけば，初項－１を残して，
それ以外の和は全て０になりそうですが．．．

例えば，ｍ＞ｎという数までの総和（ｎまででも良いんですが）は，

初項が－１の場合，
(k=1→m)Σan＝√（m＋１）－１

初項が０の場合，
(k=0→m)Σan＝√（m＋１）－０
　＝√（ｍ＋１）

これは明らかに第ｍ項までの部分和ですね．
そして，無限級数の和は，下記の通りです．
(m→∞)lim｛(k=1→m)Σan＝√（ｍ＋１）－１｝
or
(m→∞)lim｛(k=0→m)Σan＝√（ｍ＋１）｝
初項に係わらず，
どちらとも正の無限大に発散します．
====================================================
(n→∞)(k→∞)Σ（1/k）
＝1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+・・・1/n・・・
これも良い代表例です．
一般項は，０に収束するのに，無限級数の和は正の無限大に発散します．
（式の変形にちょっとテクニックが必要です）
詳しくは，こちら↓を御参照ください．
http://ja.wikibooks.org/wiki/解析学基礎/級数
or
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E7%B4%9A%E6%95%B0

よく気付きましたね＾＾
これからも頑張ってください＾＾

お礼

早速お返事くださってありがとうございます！
下のほうのホームページ、参考になりました。
全部はむずかしいですが…

回答No.3

Tacosan

教科書に書いてあることは正しい. ただ, #1 でも言われているように「逆は必ずしも成り立たない」というだけ.

「teres～」は telescope か telescopic だね.

回答No.1

Rice-Etude

例で示した数列は、数列としては0に収束しますが、無限級数は発散しますね。下記で示したURLにも載ってます。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suuretu/suuretu/mugenkyuusuu-no-hassan.html

要は「（ある数列の）無限級数が0に収束ならばその数列は0に収束する」は成り立っても「（ある）数列が0に収束するならその無限級数は0に収束する」は成り立たない（すなわち必要充分条件ではない、あるいは「『逆』は必ずしも真ならず」）ということです。