公式にない解き方が必要な問題

質問

途中まではテキストと同じ数字がだせたのですが、行き詰ってしまいました。テキストの解説を読むと、なんだか全然知らない解き方に進んでいて、よくわからなかった問題です。

問
A、B、Cの3つの容器にそれぞれ100%、75%、60%のアルコール溶液が入っている。AとBをすべて混合すると80%溶液になり、一方、BとCをすべて混合すると70%溶液になる。A、B、Cをすべて混合すると、約何%のアルコール溶液になる。

僕の解き方
1）（食塩の量/食塩水の量）×100
2）食塩水の量×濃度
3）食塩の量÷濃度

問題文から判明しているのは、各液の濃度のみなので、1の式は使えない。3の式は分数のため計算がややこしくなるので、2の式を使うことにしました。

100A＋75B＝80A＋80B　→　4A＝B
75B＋60C＝70B＋70C　 →　B＝2C

さて、もうこれ以上どうしようもないですよね。求めなければならないのは、A、B、C全てを足した濃度だから、この式で求められた食塩の量を代入していっても正解は導き出せないのです。

テキストの解説
（100/100）A＋（75/100）B＝（80/100）（A＋B）→A:B＝1:4
（75/100）B＋（60/100）C＝（70/100）（B＋C） →B:C＝2:1
A:B:C＝1:4:2

[｛（100/100）y＋（75/100）4y＋（60/100）2y｝/8y]×100＝74%
となっていました。

でもこの解き方って、公式にない解き方ですよねぇ？一番はじめの
A:B＝1:4を求めるための式も、公式としての出所がないですし、1:4:2を求めたあとの複雑な公式も、なんで突然こんな式がでてくるのかがよくわかりません。（食塩の量をかける式は習っていません）

宜しくお願い致します。

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

あなたのやり方で間違ってはいません。
パーセントというのは割合ですからＡ、Ｂ、Ｃが何ｇというのが分からなくても比が分かれば出来るのです。
＞100A＋75B＝80A＋80B　→　4A＝B
＞75B＋60C＝70B＋70C　 →　B＝2C

Ａ、Ｂ、Ｃを混ぜた後の濃度を(ｘ)％とします。
１００Ａ＋７５Ｂ＋６０Ｃ＝(ｘ)（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
上の式からＢ＝４Ａ，Ｃ＝２Ａであることが分かりますから代入します。
左辺＝１００Ａ＋７５×４Ａ＋６０×２Ａ＝５２０Ａ
右辺＝(ｘ)×７Ａ
（ｘ）＝５２０Ａ／７Ａ＝７４．３
７４％というのはこの値ですね。

質問文の中の式
＞[｛（100/100）y＋（75/100）4y＋（60/100）2y｝/8y]×100＝74%
の分母の８ｙは７ｙのはずです。写し間違いですか。

Ａ：Ｂ＝１：４
Ｂ：Ｃ＝２：１
はあなたが出された４Ａ＝Ｂ、Ｂ＝２Ｃと同じ内容です。
４Ａ＝Ｂ・・・ＢはＡの４倍であるという意味ですからＡ：Ｂ＝１：４です。比を分数で表しても同じです。内項の積＝外項の積というのは習っていませんか。比分数でも表されます。Ａ／Ｂ＝１／４と書くのと同じです。これはまた４Ａ＝Ｂと同じです。

お礼

回答が遅くなってしまい、大変申し訳ございません。

＞あなたのやり方で間違ってはいません。

どっしぇー☆あっていたのですか。ありがとうございました！

回答No.2

DN7

テキストの解説と、貴方が途中まで解いた式が意味するところはまったく同じです。

4A=Bというのは、BはAの４倍の量があることを意味します。つまり、A:B=1:4です。B=2Cについても同様のことが成り立ちます。すべて溶液の量の比が分かったので、A=yとおけば、B=4y、C=2yと表せます。A、B、Cのすべてをあわした量は7yとなります。

テキストの解説の最後の式は、すべての溶液を混合したときの2)の式です。つまり、濃度をxとしたときに下記の式が成り立ちますので、これをxについて解けばよいのです。
(x/100)×7y=(100/100)y＋(75/100)4y＋(60/100)2y

すべての式が、公式と同じ形で出てくるとは限りません。公式の意味するところをよく理解して使いましょう。

お礼

回答が遅くなってしまい、大変申し訳ございません。

＞テキストの解説と、貴方が途中まで解いた式が意味するところはまったく同じです。

そうだったんですか…。もう一度よく復習してみます。ありがとうございました。