極限値

質問

(1)an=1/(1・2)+1/(2・3)+・・・・・・+1/n・(n+1)
(2)an=n^2/(1+2+3+・・・・・・+n)
(3)an=(1-1/n)^n
という数列の極限値の求め方がわかりません。
お分かりになる方よろしくお願いします。

回答No.2

c_850871 · ベストアンサー

psuedoaseさんのほぼおっしゃる通りですが，その文中で
(1)は1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)は証明の必要はありません．変形すればよいだけです．
#1において
(2)の1行目は基本的な数列の和の公式ですよ．
ここまで書いてくださってますから，私がこれ以上申し上げることはありません．
(3)ですが，-n=kという文字で表してしまうと，k→-∞となって「??」となってしまいますので，h=-1/ｎとおくと問題ありませんよ．

頑張ってください．

お礼

ありがとうございました。
皆さんのおかげで解りました。

補足

１番は回答者様のいう変形まではできたのですがそのさきがわかりません。答えは１になるようなのですが０しか導きだせません。
２、3番はとくことができました。
ありがとうございました。

回答No.3

owata-www

1/n・(n+1)＝（1/n）－｛1/（n+1）｝
なので、
an=1/(1・2)+1/(2・3)+・・・・・・+1/n・(n+1)
　＝（1-1/2）＋（1/2-1/3）+・・・・・＋（1/n-1 -1/n）＋（1/n -1/n+1）
　＝１－1/n+1
です。ここまでやればおわかりになるかと

お礼

ありがとうございました。
皆さんのおかげで解りました。

回答No.1

psuedoase

1)
1/(1*2)は1/1-1/2と書けます。
1/(2*3)は1/2-1/3と書けます。
つまり1/n*(n+1)=1/n-1/(n+1)と推測できます。（実際に計算したらそうなります）
つまりan=1/(1・2)+1/(2・3)+・・・・・・+1/n・(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4.....-1/n+1/n+1/(n+1)
となりある数字に近づいていくのが分かります。

2)
(1+2+3+.....+n)=(1+n)*n/2
ですよね？
n^2/((1+n)*n/2)
=2n/(1+n)
と書けます。
nを無限にすると特定の数字が出てきます。

3)an=(1-1/n)^n　は少し難しいですね。。
これはあくまで僕の推測ですが、
(1-1/n)^nは自然対数eの形によく似てます。
e=lim (1+1/n)^n
例えば-n=kという文字で表します
an=(1+1/k)^-k
つまり(1+1/k)^k(-1)
e=lim (1+1/k)^k
だからlim (1-1/n)^n
はe^-1になるんじゃないかと思います。

もしかしたら違うかもしれませんが、参考にしてください。。

お礼

ありがとうございました。
皆さんのおかげで解りました。