数列の極限

質問

(1)an=(1-1/n)^n
(2)an=(n+3/n+1)^n
(3)an=(1-n/3-n)^-n
の数列の極限がそれぞれ
(1)e^-1
(2)e^2
(3)e^-2
となるのですが、なぜこうなるのか理解できません。
解る方は是非教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

dczuki · ベストアンサー

(1+h)^(1/h)についてhを０に近づけるとe（自然対数）に近づくということを考えます。そうすれば
(1)について:-1/n=hとおく（n→∞のときh→0）
(2)について:{(n+3)/(n+1)}=(1+3/n)^n/(1+1/n)^nと変換できますよね、それで(1)と同じような操作をする。
(3)について:これは(2)と同じ操作
をすれば理由が見えてくると思いますよ。

補足

{(n+3)/(n+3)}=(1+3/n)^n/(1+1/n)^nと変換する操作がわかりません。
{(n+3)/(n+1)}=(1+3/n)×n/(1+1/n)×nでは無いんですか？

回答No.2

kilimp

{(n+3)/(n+1)}=(1+3/n)×n/(1+1/n)×n で正しいですよ。
おそらくdczukiさんのは
{(n+3)/(n+1)}^n=(1+3/n)^n/(1+1/n)^n
というところ書き間違えたのでしょう