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複素数の問題です。
matelinの回答
- matelin
- ベストアンサー率64% (20/31)
こんにちは。次の説明は、偏角の扱い方が、あなたの教えてもらったやり方とはちょっと違いますが、 私はこちらのほうがすっきりしていると思います。 問題のZの3乗根をWと置き、 Wの絶対値をr、Wの偏角をθ(0=<θ<2π:これが大切) と置きます。W=r(cosθ+isinθ)です。 さて、W^3=Zなので、W^3をドモアブルの定理で計算すると、 W^3=r^3(cos3θ+isin3θ) これがZ=4(cos2π/3+isin2π/3)に一致すればよいのです。 (Zの偏角は2π/3のみとしておきます。:これも大切) r^3(cos3θ+isin3θ)=4(cos2π/3+isin2π/3) 絶対値については、r^3=4より、r=4の3乗根 偏角についてですが、ここでちょっと考える必要があります。 上で、Wの偏角θについて、0=<θ<2πとしました。 これより0=<3θ<6πとなり、 その範囲で、第二象限の2π/3になるのは、 3θ=2π/3だけではありません。 3θ=2π/3、2π/3+2π、2π/3+4π の3つがあります。4つ目は2π/3+6πですが、 これは0=<3θ<6πの範囲を越え出てしまいますから、だめです。 上の3つの3θは、複素平面の上では、みな同じ位置を表しますが、 θはそうではありません。 θ=2π/9、8π/9、14π/9となり、 これらは複素平面上では異なる位置になります。 したがって、それに対応するWは異なる複素数なのです。 その異なる複素数3個が、すべてZの3乗根です。
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