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常微分方程式の解法について宜しくお願いします
gef00675の回答
- gef00675
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> なぜ消去できるのですか 大変申し訳ありません。一般のf(x)について解けるというのは間違いでした。私の見誤りというか、妄想というか、混乱させてすみませんでした。 方程式をみやすくするため、 dx/dy=f(x)/(A(C-y))+B/(Ay(C-y)) のyを、dy/dt=A(C-y)となるようなtに変数変換すると(t=-1/A*log|y-C|)、 dx/dt=f(x)+g(t)・・・(♯) の形にかけます。ここで、g(t)=B/(C±e^(-At))。(±はy<Cかどうかによる) この形にまで簡単にしておけば、解けそうな場合が見つかりやすいと思います。 手元の本を調べてみました。 まず、ある初期値を与えたとき、この方程式の解がただ一つ定まるかどうかが問題です。初期値および(#)の右辺の関数f(x)+g(t)が、リプシッツ条件を満たせば、解は一つに定まります。(解の存在定理です)以下、リプシッツ条件を満たすとして、 1.f(x)=ax+bの形のとき: 線形微分方程式になるので、定数変化法で解けます。 2.完全微分形: (#)に適当な関数を掛けて完全微分形に変形できるときは解けます。しかし、(♯)の方程式の場合、f(x)がよほど都合のいい形でないと、できそうな気がしません。 3.f(x)=(xの二次式)のとき: リカッチ方程式になります。解ける場合もありますが、初等的解法では解けないことが多いです。が、一般にf(x)がxの多項式のときは、次の級数解法が使えます。 4.f(x)がべき級数で表されているとき: x=(tのべき級数)の形を仮定し、方程式に代入して未定係数を決定します。もしかしたら、既知の関数で表せるかもしれません。数学公式集をみて、x(t)と似たような係数を持つ特殊関数が見つかれば、しめたものです。 5.逐次近似法 x0(t)=x_0+∫g(t)dt (右辺のx_0は定数) x1(t)=∫(f(x0(t))+g(t))dt x2(t)=∫(f(x1(t))+g(t))dt x3(t)=∫(f(x2(t))+g(t))dt …… と、順にxn(t)を決めていき、xn(t)がある関数に収束すれば、それが解になっています。 6.数値解法 ルンゲクッタ法などです。 以上、ご参考になれば幸いです。
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お礼
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