曲がった空間での微分について質問

質問

曲がった３次元座標系（座標軸の線が曲がっている）があり、計量テンソルgijが求まっているとします。計量テンソルとは座標軸の線の３つの接線ベクトル同士の内積(3x3)が成分となっているマトリックスとして表現されるテンソルと認識しております（共変基底ベクトル同士の内積）。ある本にこのマトリックスの行列式(det(g))の曲線座標(k)での微分が、2det(g)×cf2(i,i,k)となるということが書いてあり、容易に誘導できると書いてあります。
cf2(i,j,k)とは第2種クリストッフェル記号という意味で、この記号は分数形式で表示されるので、(i,j,k)ではiが上、j,kが下にくるものです。←表示に苦慮しております。知っている人は知っているという類のものです。
式として表示すると、
(det(g)),k=2det(g)×cf2(i,i,k)
となるということですが、証明できるでしょうか。私は簡単にできなくて困っております。
どのようにして証明するのでしょうか。複数の本を見ておりますが、さらっと通りぬけており私は理解できません。
よろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

添え字が下つきの計量テンソル成分をｇμν(共変)、上付きをｇμν(反変)、ｇμν(共変)の行列式をｇと書くことにします。ｇを微分すると
　∂g/∂xα = Σ(∂g/∂ｇμν(共変))(∂ｇμν(共変)/∂xα)
行列式を第ν列で展開すると余因子をΔμνとしたとき
　g = ΣΔμνｇμν(共変) 　(μについての和)
よって
　∂g/∂ｇμν(共変) = Δμν
ｇμν(共変)はｇμν(反変)の逆行列だからクラーメルの公式より
　ｇμν(反変) = Δμν/g
以上より
　∂g/∂xα = g ｇμν(反変)(∂ｇμν(共変)/∂xα)
　= 2det(g)×cf2(i,i,k)

お礼

回答、有難うございました。具体的に行列式を展開する必要がなくて助かりました。
最後のところで、cf2(i,i,k)=2ｇμν(反変)(∂ｇμν(共変)/∂xα)
が既に証明されていることが前提ですが、これはcf2(i,j,k)の定義式でi=jとして調べれば出てくるようです。cf2(i,j,k)の定義式は本によると２つあり(メトリックテンソルの微分が3項出てくるものとちょっと込み入った微分記号で表示するもの)、当然両者は同値であるわけですが。

回答No.1

ojisan7

クリストッフェル記号まで戻らずに、一般的に、行列式の微分がどのように表されるかを思い出してみれば、簡単ですね。その公式に計量テンソルを代入すればよいのです。非常に簡単ですよ。

お礼

有難うございます。
アドバイスを受けて、以下のようなことを想起しました。

まず、行列式を行列成分とその余因子で展開して表示する。３×３の行列だったら、展開の仕方のパターンが６通りになると思いますが、全部展開したら同じになるわけですね。で、それを微分するということかと思います。３×３の２階のテンソルに限った場合の展開式ということですね。３成分以上でかつ高階のテンソルには使えないということになるでしょうか。この場合だけに限った表現とみなして地道に展開して調べてみようと思います。