慣性テンソルの固有値：物理的意味

質問

慣性テンソルの固有値：物理的意味
慣性テンソルの固有値(主慣性軸)には，テンソルが3×3の場合3つ存在しますよね．
その3つの固有値の大きさが違うとすると，(例えば固有値：主慣性軸をI1,I2,I3とすると，
I1＞I2＞I3となるとすると）
物理的に，そのことについてどのように意味を持つといえるのでしょうか？

固有値って，その固有ベクトルを何倍かする，というものですよね？
とすると，それぞれの固有値が持つ固有ベクトルの長さ，という理解でいいのでしょうか．
そして，その長さが異なるということは，物理的にどのような意味を持つのでしょうか？

わかりにくい質問で申し訳ありませんが，どなたかお力を貸していただけるとありがたいです．

回答No.1

my3027 · ベストアンサー

私も数式で納得のいく説明が出来ていないのですが参考に。

>その3つの固有値の大きさが違うとすると，(例えば固有値：主慣性軸をI1,I2,I3とすると，
I1＞I2＞I3となるとすると）物理的に，そのことについてどのように意味を持つといえるのでしょうか
この場合は単純に、I1がx、I2がy、I3がzに対応するとして、z軸を中心軸とした場合が慣性抵抗が最小になるという意味だと思います。

>固有値って，その固有ベクトルを何倍かする，というものですよね？
わたしもその様なイメージを持っています。この場合は、

>とすると，それぞれの固有値が持つ固有ベクトルの長さ，という理解でいいのでしょうか．そして，その長さが異なるということは，物理的にどのような意味を持つのでしょうか？
それは違うと思います。固有ベクトルは各固有値に対応して、何かの成分を1として計算されます。例えば、x=1とおいて他のy、zは「相対的」に求められます。従って、固有ベクトルの「方向」はわかっても絶対長さはわかりません。従って、固有値は任意の長さのベクトルを決まった方向に固有値倍の長さにマップする。という事かと。。。上記例の場合は、基底ベクトル(0,0,1)が（0,0,I1)にマップされ、その拡大率は最小(最もz軸周りの慣性抵抗が、他軸のみの慣性抵抗より少ない)という意味ではないでしょうか。

補足です。剛体に任意に設定した座標系は、通常慣性テンソルはフルマトリクスですが、テンソルが対角成分のみであれば、基底方向は固有ベクトル方向と同となるので、各固有値に対応した基底が最大、中間、最小(重根が無ければ)となります。