テンソル解析の基礎|応力テンソルについて
- 久田先生著の「テンソル解析の基礎」を読んでいるのですが,pp.2のテンソルの概念のところで,「断面上の点Pを囲む小面積dsに作用する力がベクトルdfnで表されたとすると,点Pでの応力ベクトルはtn=dfn/ds(ds→0)で定義される」と書かれています.ここまでは理解できます.
- 異なる向きn'の断面をとっても,力のつり合いから考えて,力のベクトルdfnは変わらないのではないでしょうか.しかしこの本では,n'の断面の場合の力のベクトルはdfn'ということを言っていて,ここがどうしても理解(イメージ)できません.
- 応力テンソルについての説明がありませんので、他の参考書や解説を探すことをおすすめします。
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応力テンソルについて
久田先生著の「テンソル解析の基礎」を読んでいるのですが,pp.2のテンソルの概念のところで, 「断面上の点Pを囲む小面積dsに作用する力がベクトルdfnで表されたとすると, 点Pでの応力ベクトルはtn=dfn/ds(ds→0)で定義される」 と書かれています.ここまでは理解できます.理解できないのは次で, 「もし点Pを通り異なる向きn'の断面をとると,今度はそれに応じた応力ベクトルtn'が得られるはずである」 と書かれているところです. 異なる向きn'の断面をとっても,力のつり合いから考えて,力のベクトルdfnは変わらないのではないでしょうか. しかしこの本では,n'の断面の場合の力のベクトルはdfn'ということを言っていて,ここがどうしても理解(イメージ)できません. どなたか,よきご説明があれば,お願いしたいのですが... よろしくお願いいたします.
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欲しい情報「答え」にはなるか分かりませんが,与えられている情報から推測して回答させていただきます. まずこちらから質問です. 「断面上の点Pを囲む小面積dsに作用する力がベクトルdfn」とありますが,このベクトルdfnは,小面積dsに垂直な方向に働いているベクトルではありませんか? 一般に,内力ベクトルは,ある断面に対して傾いている場合がほとんどであるため,断面に対して垂直方向と水平方向に分解して考えます. ここで, ある断面に作用する内力ベクトルを df, ある断面に作用する内力ベクトルの垂直成分をdfn, ある断面に作用する内力ベクトルの水平成分をdfq, とすると, df = dfn + dfq -----(*) が成り立ちますよね. 以上,勝手な導入からの推測なんですが,教科書に記述してある『断面上の点Pを囲む小面積dsに作用する力がベクトルdfn』とは,(*)式の右辺の第一項目に相当するのではないか,と考えます. そして,しゅうさんのおっしゃる「異なる向きn'の断面をとっても,力のつり合いから考えて,力のベクトルdfnは変わらないのではないでしょうか.」とは,dfnをdfに置き換えたら,すんなりと理解できます. つまり,断面が変化しても内力ベクトルdfは変わりません.しかし,dfの垂直成分dfnと水平成分dfqは,(*)式を保ちながら常に変化します. だから,今回の問題の記述, 「もし点Pを通り異なる向きn'の断面をとると,今度はそれに応じた応力ベクトルtn'が得られるはずである」 というのは, 「断面が変化すると,当然,断面に作用する力の垂直成分も変化するはずだよね?」という単純な原理を説明しているだけなのではないでしょうか. もしその教科書に,ベクトルを示した図などが描いてあれば,それこそ一目瞭然だと思います. 以上,長くなりました.
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