応力

質問

連続体の力学を勉強しています。
応力の問題で、分からない問題が出てきたので、教えてください。

２次元空間の応力場を考える。図のように正方形の材料の各辺に等分布荷重が作用しているとき、材料中の面Ａに作用する応力ベクトル、ならびに最大主応力を求めよ。
（図は添付）

まずよく分からないのが、図で、矢印が８つあるわけですが、この矢印がどういうことを意味しているのかが分かりません。
同じ方向でも向きが違っていたりして、何を意味しているのかがつかめておりません。
応力に対する理解不足だと思うのですが、教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

AoDoc · ベストアンサー

材料中の点(x,y)の応力状態を図1(1)のように長方形の微小要素の面に生ずる垂直応力とせん断応力で表します。問題の場合は簡単に考えると、x方向に圧縮荷重、y方向に引張荷重、ねじりモーメントが同時に働いたと考えます。

　材料力学で学習したと思いますが、応力は面に垂直な垂直応力σ、面と平行なせん断応力τがあります。2次元ですと4種類になります。この応力を区別して表現する時、せん断応力であればτxyと表現します。最初のxは考えている面を表し、x軸と垂直な面、次のyは方向を表します。τxyはx軸と垂直な面におけるy方向の応力と言うことになります。σxyと表現している書籍もあります。σxxはx軸と垂直な面におけるx方向の応力と言うことになります。y方向に関しても同じです。

　図1の(1)に+方向の向きでそれぞれの応力を示し、(2)に垂直応力σxxだけ　(3)にせん断応力τxyだけを示しています。
　式(1)に問題で与えられた応力の名称と値を示しています。σxxは圧縮ですので－で、矢印の向きは図１(2)とは逆向きになります。
　90°回転した面のせん断応力は、式(2)の関係があります。θ=30°の面に生ずる垂直応力σnとせん断応力τは式(3),(4)となります。主応力σ1、σ2は式(5)となります。大きい方は＋の時でσ1です。

　せん断応力の符号は材料力学の断面の位置による応力の変化、式(3),(4),(5)は組み合わせ荷重のところで勉強したはずですので調べてみてください。あとは自分で数値計算してください。材料力学では式(6)のように書いています。

お礼

回答どうもありがとうございました。
また二つ質問させてください。
まず、図(1)の矢印のとりかたでいくと、τxy=τyx（符号も含めて）になるような気がするのですが、どうなのでしょうか。
それに、応力テンソルの対角成分は等しいので、τxy=τyxとなると思うのですが。
次に、式(5)の主応力の式はどこから導き出されたものなのでしょうか。
式(6)が書かれていることとの関係も教えてください。

補足

たびたびすいません。
主応力の式については固有値問題ですので、理解できました。
τxy=τyxについて教えてください。

回答No.2

AoDoc

τxyとτyxは、90°離れた面上のせん断応力で、絶対値は同じで符号は反対になります。材料力学では「断面の位置による応力の変化」で、任意断面上の垂直応力とせん断応力を求めた後、導かれています。あなたの図面でもそうなっていると思います。要素を時計方向に回転させるようなせん断応力を＋、反時計を－と普通定義します。
(5)式は(3)式の最大値と最小値でこれが主応力です。
(6)式は連続体の力学での表現と材料力学の表現の仕方の違いを示したものです。

お礼

お礼が遅くなってしまってすいません。。
じっくり考えて、理解できました。すっきりしました。
ありがとうございました。