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組合せ論を使って証明できる不等式はあるのでしょうか?
相加相乗平均の関係や、三角不等式、コーシーシュワルツの不等式などは、平面幾何学の図形を用いて、証明することもできます。 実際は、解釈できるといった方が適当かもしれません。 では、同じく直感的な数学の組合せ論を使って証明できる不等式はあるのでしょうか? たとえば、次の問題は原始的で、式変形を使えばすぐに証明できますが、式を一切使わずに、より直感的に解釈するにはどうしたらよいのでしょうか? 数ヶ月前から考えているのですが、よくわかりません。 A,Bの箱に赤と白の玉が複数ある。どちらも、赤が多い。それぞれの箱の玉の合計数は同じとは限らない。A,Bから1つずつ玉を取り出すとき、同色の確率と異色の確率では、同色の確率の方が高い。
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コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0 上のHPのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。 中ほどのルートを外すところですが、 実際は http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7%94%bb%e5%83%8f%e3%82%b3%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%bc.png (a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB のように分子に絶対値が付くと思うのですが。 しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2 となり、 コーシー・シュワルツの不等式式より厳しい不等式が出てきます。 どこかが間違えてると思うのですが、どこだか分かりません。 どなたか問題点が分かりましたら教えてください。 よろしくお願いします。
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