ラプラス変換の簡単な問題なんですがどうしてもできませんどうかお願いします

質問

∫[e^-(a-p)t] * cosbt dt
この問題が答えが(p-a)/[(p-a)^2+b^2]
となります
途中までは部分積分でできるのですが最後に
（p-a）^2/[(p-a)^2+b^2]となってしまいます
どうしたらいいのかお願いします<m(__)m>

回答No.2

rabbit_cat

まあ、どっかで計算間違いしてるだけなんで、見直してください。

高校知識だと、同じものが出てくるまで部分積分を繰り返す、ていこうことになりますが、

オイラーの定理
e^(ibx) = cos(bx) + isin(bx)
を使えば
∫e^(ax)*cos(bx) dx = Re[ ∫e^((a+ib)x) dx ]
て簡単に積分を求める方法もあります。Reは実部です。

数学的に、本当にこれでいいのか、という議論が必要でしょうが、ラプラス変換を使うような学科（工学系ですよね）なら、まあ、そこらへんは適当でいいのでは。

回答No.1

fef

方針は正しいので，もう一度計算しなおしましょう．

以下のような解き方も知っておくと便利ですよ．

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まず，等式
　(d/dt){e^(-(a - p) t) cos(b t)}
　=　-(a - p) e^(-(a - p) t) cos(b t) - b e^(-(a - p) t) sin(b t)
および
　(d/dt){e^(-(a - p) t) sin(b t)}
　=　b e^(-(a - p) t) cos(b t) - (a - p) e^(-(a - p) t) sin(b t)
の成り立つことに注意する．
すると，
　(d/dt){-(1 / b) (e^(-(a - p) t) cos(b t)) + (1 / (a - p)) (e^(-(a - p) t) sin(b t)}
　=　(((a - p) / b) + (b / (a - p))) e^(-(a - p) t) cos(b t)
　=　(((a - p)^2 + b^2) / ((a - p) b)) e^(-(a - p) t) cos(b t),
すなわち
　e^(-(a - p) t) cos(b t)
　=　(d/dt){-((a - p) / ((a - p)^2 + b^2))
　　　　(e^(-(a - p) t) cos(b t)) + (1 / (a - p)) (e^(-(a - p) t) sin(b t)}
は明らか．
したがって，a - p > 0 のとき，
　integral_(0)^(inf) e^(-(a - p) t) cos(b t) dt
　=　-((a - p) / ((a - p)^2 + b^2))
である．
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