損失最小化問題の計算

質問

E[L] = ∫∫{y(x)-t}^2p(x,t)dxdt 　　　　　　- (a)
を最小化するy(x)を求める問題で、変分法を使って
　　δE[L]/δy(x) = 2∫{y(x)-t}p(x,t)dt = 0 　　- (b)
となると教科書に書いてあります。これはオイラー方程式の第二項が消滅した形で
　　∂E[L]/∂y(ｘ) = 0
としたものだと思うのですが、どうして(a)をy(x)で偏微分すると(b)になるのか（なぜxについての積分の部分が消滅しているのか）よく分かりません。
　よろしくお願いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

確認：p(x，t)は既知関数ですよね？。

＞これはオイラー方程式の第二項が消滅した形で
　　∂E[L]/∂y(ｘ) = 0
としたものだと思うのですが、・・・

　その通りだと思います。

　最小化する関数を、Ｅ＝∫Ｌ(y'(x)，y(x)，x)dxとすると、オイラー方程式は、

　　(d/dx)(∂L/∂y')－∂L/∂y＝0

となり、xに関する積分は消えます。さらにオイラー方程式は、Ｌに余分なパラメータxが入っていても、お構いなしです。

　今回の場合は、さらにパラメータtも入っていて、tに関してたまたま積分する形になっただけです。

　　Ｅ＝∫∫Ｌ(y'(x)，y(x)，x)dxdt

　うるさい事を言わなければ（ふつう言いません^^）、xで先に積分してからtで積分しても良いので、y＝y(x)に注目し、y(x)に関する変分を先に取ったので、xに関する積分が消え、

　　δＥ/δy＝∫((d/dx)(∂L/∂y')－∂L/∂y)dt＝0

となっただけですよ^^。

お礼

ありがとうございました。E[L]をxについての積分と見ればいいんですね。