極限値は存在しますか？

質問

０ 1/3 2/3 1
----------------------------------
真ん中の１/3を削除する。

Ｓ＝1/3+1/3になる。

それぞれの真ん中の1/3を削除する。

Ｓ＝1/9+1/9+1/9+1/9になる。
以下
このような数列は極限値を持ちますか持ちませんか？
あるとしたらどんな極限値でしょうか？

回答No.7

arrysthmia

←No.5
例によって書き間違いが…。
コレだから、私の回答は信用ならない。
カントール集合は log_3(2) 次元でしたね。
log_2(3) じゃ、1 より大きいじゃないか。
いや、失礼。

回答No.6

Tacosan

「対数の２（３）は２/３と関係あるのかな？」は (この場合は) 正解.
Cantor 集合を拡大していくと, 「3倍したときに元と同じ構造が 2個ある」ことが分かります. この 2 と 3 を使った
log 2/log 3
が Cantor 集合の「ハウスドルフ次元」となります. ここに出てくる 2 と 3 は, (今の場合) まさに「2/3」から来ています.
で, このように「整数でない次元をもつ図形」を「フラクタル (図形)」と言います (fractal は fraction と同語源).
「カントール集合」とか「シェルピンスキーガスケット」なんかで検索してもらうといいかも.

回答No.5

arrysthmia

カントール集合は、
ハウスドルフ次元が = log_2(3) < 1 だから、
1 次元測度（長さ）は 0 ですね。

補足

回答ありがとうございます。
一般項

A(n)=２/3（２/3)＾（ｎー１）になり
ｎ--->∞のとき　A(n)----->0
となり、極限値は０のようです。

真ん中を１/３取り除くのはそりゃ、大きいな。
残りは、すぐに０になりますね。ということらしい。

＞ハウスドルフ次元が = log_2(3) < 1 だから、
対数の２（３）は２/３と関係あるのかな？

回答No.4

Tacosan

Cantor 集合の濃度だから 0.

回答No.3

dxdydzdw

追加です。
Ans1の方へのお礼を読んで唖然としました。

＞そうですか。極限値は０ですか。
＞極限値はないと言ううことですね。

「極限値が０」ということと「極限値がない」ということの違いがわからないのではお話になりません。

回答No.2

dxdydzdw

ずいぶん考えました。いや、問題が難しいのではなく、質問者の方が何を言いたいのかわからなかったからです。

つまり、全体を１としたときに、
まずそれを３つに分けて真ん中の一つを消した際に、残った２つの部分の和をとる。その和をSとすると、（１／３）＋（１／３）＝２／３
となる。
次に、残った二つの１／３の部分をそれぞれ三つにわけてそれぞれの真ん中の一つを消した際の、残った４つの部分の和は・・・
というふうに続けていく。
（図にかけば一発でわかるのに、図が使えないというのはつらいですね）
答えは簡単です。0回目が１，1回目が2/3、3回目が4/9、4回目が8/27・・もう規則性は見えましたね？　ではｎ回目は何だと考えられるか、推定してみてください。
三つに分けて一つを消す、ということを繰り返す、ということは、2/3にすることを繰り返すということですね。
（もう殆ど答えですね）
極限値はもちろんあります。等比数列の極限がわかっていれば、あまりにも基本的な答えです。

補足

０回目
S=1

1回目
S=2/3

２回目
S=（２/３）＾２＝４/9

３回目
S==（２/３）＾３＝８/２７

でしょうか？
これの極限値は何でしょうか？
０でしょうか？

そこがわかりません。

回答No.1

jamf0421

フラクタル図形みたいなものですね。
各ステップで個々の線分の長さは1/3になり、線分の個数は2倍になりますね。よって各ステップ毎に線の長さの合計は(2/3)^nになります。よってゼロに収束すると思います。

補足

図の表示がまずくて申し訳ありません。

そうですか。極限値は０ですか。
極限値はないと言ううことですね。

ありがとうございました。