微分係数の問題です

質問

以前、こちらでご指導いただいた問題の再掲なのですが、
みなさんのご指導をうけ、自分なりに解いてみました。
おかしいところや不足点がないか、ご指導お願いします。

関数f(x)=3x^3+1のa=xにおける微分係数を、
微分係数の定義にしたがって、求めよ。

公式 f'(a)=lim{h→0} {f(a+h)-f(a)}/h より、
f'(a)=lim{h→0} {(a+h)^3-(a^3+1)}/h
=lim{h→0} {a^3+3a^2h+3ah^2+h^3-(a^3+1)}/h
=lim{h→0} (3a^2h+3ah^2+h^3+1)/h
=lim{h→0} {h(3a^2+3ah+h^2)+1}/h
=lim{h→0} (h(3a^2+3ah+h^2)/h-(1/h)
=lim{h→0} (3a^2+3ah+h^2)-(1/h)
→3a^2

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

最後の二行が違います。

> =lim{h→0} (3a^2+3ah+h^2)-(1/h)
> →3a^2

1/0は0になりません。h → 0なら、(1/h) → ±∞です。
なので微分係数は

3a^2 ± ∞
= ±∞

となるはずです。

微分係数の定義に従わないで計算すると、f'(x) = 9x^2なので、f'(a) = 9a^2です。
なので、定義に従って微分係数を計算してもf'(a) = 9a^2となると推察できます。

つまり最後の二行だけでなく、他にも間違えているところがある可能性があります。

> 公式 f'(a)=lim{h→0} {f(a+h)-f(a)}/h より、
> f'(a)=lim{h→0} {(a+h)^3-(a^3+1)}/h

f(x) = 3x^3 + 1なのに、x^3の項にかけられている3と、定数項+1がなくなっていませんか？

f(a + h) = 3(a + h)^3 + 1
f(a) = 3a^3 + 1

ですよね？なので

f'(a)
= lim{h→0} { f(a+h) - f(a) } / h
= lim{h→0} [ {3(a + h)^3 + 1} - {3a^3 + 1} ] / h

となるはずです。これでもう一度計算し直してみて下さい。

お礼

早速のご指導、ありがとうございます。
大変詳しい解説、ありがとうございました。

私のミスで問題に1か所書き間違いがありました。
これも大変失礼いたしました。
×「3x^3+1」→○「x^3+1」
ですので、↓が正しい問題になります。

関数f(x)=「x^3+1」のa=xにおける微分係数を、
微分係数の定義にしたがって、求めよ。

ご指摘の箇所と、問題の転記ミスを合わせて直しました。
これでよろしいでしょうか？

公式 f'(a)=lim{h→0} {f(a+h)-f(a)}/h より、
f'(a)=lim{h→0} {(a+h)^3-(a^3+1)}/h
=lim{h→0} {a^3+3a^2h+3ah^2+h^3+1-(a^3+1)}/h
=lim{h→0} (3a^2h+3ah^2+h^3+1-1)/h
=lim{h→0} h(3a^2+3ah+h^2)/h
=lim{h→0} h(3a^2+3ah+h^2)/h
=lim{h→0} (3a^2+3ah+h^2)
→3a^2

回答No.2

sanori

こんばんは。

２行目の時点で、すでに、ｘ^3の係数の３が姿を消しちゃってますね。
そこが間違いです。

ｆ（ａ＋ｈ）　－　ｆ（ａ）　＝｛３（ａ＋ｈ）^3　＋　１｝　－　｛３ａ^3　＋　１｝
　＝　｛３（ａ^3　＋　３ａ^2ｈ　＋　３ａｈ^2 ＋ｈ^3）　＋　１｝　－　｛３ａ^3　＋　１｝
　＝　９ａ^2ｈ　＋　９ａｈ^2　＋　３ｈ^3

よって、
lim[h→0]　｛ｆ（ａ＋ｈ）　－　ｆ（ａ）｝／ｈ
　＝　lim[h→0]　（９ａ^2ｈ　＋　９ａｈ^2　＋　３ｈ^3）／ｈ
　＝　lim[h→0]　９ａ^2　＋　９ａｈ　＋　３ｈ^2
　＝　９ａ^2

以上、ご参考になりましたら。

お礼

私のミスで問題に書き間違いがありました。
×「3x^3+1」→○「x^3+1」
ですので、↓が正しい問題になります。

関数f(x)=「x^3+1」のa=xにおける微分係数を、
微分係数の定義にしたがって、求めよ。

非常にわかりやすい解答、ありがとうございました。
みなさんのおかげで、どうにか理解できるところまで
きたように思います。

お二人とも20点をお付けしたいのですが、システム上できない
みたいなので、大変迷ったのですが
先に回答くださった方に20点をつけさせていただきます。

また、この問題だけでなく、他の問題にも親切にお答えいただき、
大変ありがとうございます。この場を借りてお礼申し上げます。
ありがとうございました。