高校数学 内積計算

質問

高校分野のベクトル内積計算の質問なんですが、

以下の文字はベクトルを表す　ただし[]は大きさを表す

[a]=１、oh=(a・p)aのとき何故「oh」=[a・p]になるのですか？

僕の考えでは
oh=(a・p)a=a・a・p=[a]二乗・p=p yotte
[oh]=[p]
となっちゃうんですが。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

noname#101199 · ベストアンサー

no.1さんの回答の通りです。
高校範囲ということなのでちょっと厳密性を排して感覚的な話をします。

ちなみにhitch711さんの考え方は
(a・p)a=a・a・p　の部分が間違っています。

ベクトルの内積の結果はスカラーという点に注意してください。
たとえば、(1,2) , (2,3)という２つのベクトルの内積は８というスカラーで出てきますよね。
つまり、(a・p)はスカラーなんですね。（たとえば３とか８とかいう何かの「数値」）
ということは
oh=(a・p)a　というのは何を意味しているかと言うと、
oh=3a　と書かれているのと同じようなことを言っています。
この場合普通に[oh]=[3]ですよね？（aは,[a]=1の単位ベクトルなので）

同じように考えて、
oh=(a・p)aというのは
ohベクトル＝大きさが(a・p)で、向きはaと同じ向きのベクトル
ということです。
[a]=1なので、aは向きだけ考えれば良いです。（単位ベクトル）

なので、[oh]=[a・p]は計算するまでもなく直感的にわかっちゃうんですね。。

参考になりましたでしょうか^^;
ほんとにちなみにですが、内積の幾何的な意味を知っとくと、大学の難解な数式の理解にちょっと役立ったりします。。
今回の問題のように「正射影」として、単位ベクトルとの内積を使ったりすることがよくあります。興味があったら調べてみるといいかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。自分がいかにナンセンスな（定義を無視した）ことをしていたかよくわかりました。

回答No.1

hatake333

ベクトルの「内積」と普通の掛け算の「積」は異なります．
あくまで，ベクトル同士の掛け算を「内積」として扱っているだけです．
つまり，ベクトルという数に代わる新しいものに対して，新しい掛け算を考えているのです．
長くなりましたが，「内積」と「数の積」は別物です．

具体的には，
　　　　(a・p)a = a・a・p
とはなりません．内積「・」と数の積「×」は別だからです．つまり，
　　　　(a・p)a = (a・p)×a
となります．
内積の定義は，aとpの為す角をθとすると，
　　　　a・p = [a]×[p]×cosθ
ですよね？
間違いの原因はおそらく，ベクトルと内積(a・p)を混同しているところにもあるようです．つまり，
a，p　⇒　ベクトル
内積 a・p　⇒　値(実数であって，ベクトルではない)
が式の過程で区別できなくなっているのではないでしょうか．
ですから，
　　　　(a・p)a = a・a・p
のように，×の省略部分が・に代わってしまうのでしょう．

[oh]=[a・p]の証明は
oh = (a・p)a　の両辺の絶対値をとって二乗すると，
[oh]^ 2 = [(a・p)a]^2
　　　　= [(a・p)]^2×[a]^2
　　　　= [(a・p)]^2
∴ [oh] = [(a・p)]

ちなみに，
　[oh]=[a・p]
においても，左辺の[ ]はベクトルの絶対値でベクトルの大きさを表しているのに対して，
右辺の[ ]は実数の絶対値で，符号をとったもの(原点からの距離)
というように多少意味合いが異なるわけです．（しかし，本質では同じ）

疑問は晴れましたか？

お礼

回答ありがとうございます。よくわかりました。