3次元斜交座標系における内積の計算

質問

3次元斜交座標系における内積計算について教えて下さい。
ベクトルA、Bの内積計算を(1)、(2)、(3)、(4)の4パターンについて考えました。

(1)は反変ベクトル・反変ベクトルなのでΣの和の項数は９
(2)は共変ベクトル・反変ベクトルなのでΣの和の項数は3
(3)は反変ベクトル・共変ベクトルなのでΣの和の項数は3
(4)は共変ベクトル・共変ベクトルなのでΣの和の項数は９

これで計算内容、考え方は正しいでしょうか。

回答No.1

jcpmutura

それで正しいと思います。

座標変換行列をα
A=(A1;A2;A3)
B=(B1;B2;B3)
Aの変換先ベクトル表示をA'
Aの転置をA^t
{g(j,k)}=α^2
{h(j,k)}=(α^{-1}^t)^2
とすると

Aが反変ベクトルの場合
A'=(α^{-1}^t)A
Bが反変ベクトルの場合
B'=(α^{-1}^t)B
↓
A'・B'
={(α^{-1}^t)A}・{(α^{-1}^t)B}
=(A^t)(α^{-1}^t)(α^{-1}^t)B
=(A^t){(α^{-1}^t)^2}B
=Σ_{j=1～3}Σ_{k=1～3}h(j,k)(Aj)(Bk)

Aが共変ベクトルの場合
A'=αA
Bが反変ベクトルの場合
B'=(α^{-1}^t)B
↓
A'・B'
=(αA)・{(α^{-1}^t)B}
=(A^t)(α^t)(α^{-1}^t)B
=(A^t)B
=A・B
=Σ_{k=1～3}(Ak)(Bk)

Aが反変ベクトルの場合
A'=(α^{-1}^t)A
Bが共変ベクトルの場合
B'=αB
↓
A'・B'
={(α^{-1}^t)A}・(αB)
=(A^t)α^{-1}αB
=(A^t)B
=A・B
=Σ_{k=1～3}(Ak)(Bk)

Aが共変ベクトルの場合
A'=αA
Bが共変ベクトルの場合
B'=αB
↓
A'・B'
=(αA)・(αB)
=(A^t)ααB
=(A^t)(α^2)B
=Σ_{j=1～3}Σ_{k=1～3}g(j,k)(Aj)(Bk)