ノイズスペクトルの計算について

質問

http://media.maxim-ic.com/images/appnotes/3642/3642Fig01.gif

よくスペック表にノイズ電圧が書かれていますが、例えば
上記のようなノイズ密度スペクトルがあり、10Hz～200kHzまでのノイズ電圧を求めるにはどうするのでしょうか？

考えられるのは
・縦軸を二乗し、決められた周波数範囲で積分した上で平方根をとる
ということですが、以前ある素子に関して計算したときには計算が全くあいませんでした。
どなたか確かなことを知ってらっしゃったら教えて下さい。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

>Vn は正確にはショットノイズだけでなくブラウニアンノイズなど全てのホワイトノイズの足し合わせと考えて良いのでしょうか？
Vn は平坦部分のノイズ密度の値の意味ですが、これは確かに、いろいろなノイズ成分を足し合わせたものです。ただし、それが平坦になっているということは、周波数依存のあるノイズ成分が、その平坦領域では非常に小いために、周波数依存のない平坦なノイズだけが見えている状態になります。したがって、その平坦部分にはブラウニアンノイズも含まれますが、量としては非常に小さいといえます。

２番目の質問から推測すると、JAICAさんの測定したノイズスペクトルには平坦部分がないので Vn が求められないということだと思います。図１のようなスペクトルなら平坦部分が Vn ですが、図２のように平坦部分がない場合は Vn を求めることはできません。

　↑
　│＼　　　　　　　／
　｜　　＼＿＿／＿ Vn
　｜＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　周波数　　　　　　図１

　↑　　　　／＼
　│＼　／　　　＼／
　｜
　｜＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　周波数　　　　　　図２

>数値積分する方法をとると思うのですが、その計算方法を教えて下さい。
例えば、図３のようなノイズ電圧密度スペクトル（単位がV/√Hz）があったとします。

ノイズ密度
[V/√Hz]
　↑　　　　　　　・　・
　│　　　　・
　｜　・　・
　｜＿＿＿＿＿＿＿
　　　f1 f2　　　　　f6　　　　　図３

このスペクトルが周波数 f の関数として
　　　V = g(f)
で表わされるとき、fmin～fmaxの範囲でのノイズ電圧の実効値 E [Vrms] は
　　　E = √{∫[fmin～fmaxx] g(f)^2 df }
となります。つまり、ノイズ密度電圧を2乗したスペクトル g(f)^2 を fmin～fmax の範囲で積分して√をとったのが E になります。実際には、g(f) が簡単な関数で表わされることはないので、以下のように数値的に積分すればいいでしょう。

周波数 f1 のときのノイズ密度が N1、f2 のとき N2 というふうになっていて、全体でn点あるとします。このとき、f1 ～ fn の周波数範囲でのノイズ電圧の実効値 E は
　　　E ≒ √[ { ( N1^2 + N2^2 )*( f2 - f1 ) + ( N2^2 + N3^2 )*( f3 - f2 ) + ・・・ + ( N(n-1)^2 + Nn^2 )*( fn - f(n-1) ) }/2 ]
と近似できます（台形公式）。例えば、以下のようなデータがあったとします。

周波数[Hz]　ノイズ[nV/√Hz]
　　1　　　　　　1.1
　　2　　　　　　1.3
　　5　　　　　　1.5
　10　　　　　　2
　20　　　　　　3
　50　　　　　　4
100　　　　　　3
200　　　　　　2
500　　　　　　1.5
1000　　　　　1

周波数が Excel のＡ列、ノイズ密度[V/√Hz]がＢ列に書かれているとき、C列で ( N1^2 + N2^2 )*( f2 - f1 ) などを計算して、C10のセルでC列の和を計算します。

　　　　　A　　　　　　B　　　　C
1　　　　1　　　　　　1.1　　=(B1^2+B2^2)*(A2-A1)
2　　　　2　　　　　　1.3　　上式をC2～C9までコピー&ペースト
3　　　　5　　　　　　1.5
4　　　10　　　　　　2
5　　　20　　　　　　3
6　　　50　　　　　　4
7　　100　　　　　　3
8　　200　　　　　　2
9　　500　　　　　　1.5　　ここまでペースト
10　1000　　　　　 1　　　=SQRT(SUM(C1:C9)/2)　← これが √（C列の和/2）＝ノイズ電圧実効値

ちなみに上の計算結果は 59.059 でした。

回答No.2

inara1

計算が全く合わないというのは、ノイズの実効値とピーク値を間違えている可能性はないですか。データシートに出ているノイズ電圧はp-p値（波形の最高値-最低値）が多いのですが、これはp-p値のほうがオシロスコープで観測しやすいからだと思います。ANo.1のノイズ電圧は実効値ですが、これを 3～6倍したのが概略のピーク値です。何倍にするのかは [1]～[3] のように諸説ありますが、rms値からピーク値を求めるにはこれくらいの不確実さがどうしてもあります（ノイズは確率的現象なので）。

[1]　　【3.3倍または4.4倍】　ノイズのRMS値、ピークツーピーク値
　http://www.ednjapan.com/issue/2008/09/u0o686000000nyuk.html
[2]　　【6倍】　OK Wave（ランダムノイズのRMSをPeek to Peek(以下P2P)に変換する場合,何倍するのですか？）　http://okwave.jp/qa1174141.html
[3]　　【6～9倍】　３． ショットノイズ （Shot Noise）　http://210.155.219.234/Noises.htm

回答No.1

inara1

1/f ノイズを含むノイズ密度スペクトルからノイズ電圧 E [Vrms] を計算する方法は参考URLの28ページの最後の式です。
　　　E = Vn*√{ fH - fL + fc*ln( fH/fL ) } --- (1)
Vn はショットノイズ（平坦部分）のノイズ密度 [V/√Hz]、fc はフリッカノイズ( 1/f ノイズ）のコーナ周波数 [Hz]、fH と fL は周波数帯域の上限と下限 [Hz] です。質問にあるノイズ密度スペクトルから計算されるノイズ電圧は、10Hz～200kHz の周波数帯域では 0.762 μVrms となります。1/f ノイズを考慮しない場合は 0.760 μVrms とほとんど変わりません。ノイズスペクトルの周波数軸は対数なので、低い周波数領域のノイズ（ 1/f ノイズ）は思ったほど影響をしません。

計算が全く合わないというのは、計算式を全く間違えているか、 1/f ノイズのコーナ周波数を高く見積もってしまうからだと思います（fc を高く見積もると大きく計算される）。データシートに出ている 1/f ノイズの電圧密度が、周波数の2乗に反比例するような充分低い周波数まで出ていれば精度よく fc を求められますが、そうでない場合には fc を実際より高く見積もってしまう恐れがあります。

ショットノイズだけのノイズ電圧は
　　　E = Vn*√( fH - fL )
ですから、まずこれで大雑把に計算してみるといいと思います。なお、式(1) は、ノイズ密度スペクトル E(f) を
　　　E(f)^2 = Vn^2 + Vn^2*fc/f
として、これを f = fL から f = fH まで積分して√をとったものです。

参考URL：

http://www.ee.tut.fi/rgi/kurssit/7102100/luento2-6.pdf

お礼

ありがとうございます。

あと２つよろしいでしょうか？

・Vn は正確にはショットノイズだけでなくブラウニアンノイズなど全てのホワイトノイズの足し合わせと考えて良いのでしょうか？

・単なる配線にスペアナを繋いだ場合にはピンクノイズとホワイトノイズのみでノイズは表されますが、共振回路など何か未知の回路に繋いでせいでノイズにピークができている場合には、やはり数値積分する方法をとると思うのですが、その計算方法を教えて下さい。

よろしくお願い致します。