０の０乗は１、にしたい（続き）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
の続きです。

０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。
でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。

そこで、べき乗（累乗）の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

なお、常識的には…という話は、遠慮願います。
＃Wikipediaも変わりますので。

これまでの議論で主張したこと：
(1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。
(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。
(3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外）
(4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。
(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。
(6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。
(7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。
(8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。

たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。
＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

回答No.5

ringohatimitu · ベストアンサー

前回の質問におけるたくさんの回答者さんの結論ではっきりと終わってると思いますが結論は「自然数を相手にする限りその定義で問題無い」です。自然数の指数のやり取りだけが問題になってるのですから。他への関連性は全くないです。更にそのように定めて何か得することがあるのかと言えば皆無だと思います。0^0を定義しなければならない状況にこれまで遭遇したことは多分無かったと思います。便宜上0!=1と定義することは多々ありましたが（ただこの場合は階乗の拡張であるΓ関数と矛盾することがない、すなわちΓ(n)=(n-1)! (n≧1)ですがn=0として自然に連続に拡張できる）。
連続性が絡んでくると0^0をどのように定めてもx^yは連続にはならないことはすでに示されてます（例えばlim[x→∞] x^{-1/(log x)} (=1/e)から明らかですね）。

以下個人的意見ですが数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。上で挙げた階乗との比較ですが0^0の場合は連続に拡張できることもなく単にその値を定義しただけのように思われます。一方0!=1の定義自体何と言うこともないですが（これもこれだけでは全く面白みがない、便利なことはしばしばですが）、実は背景に「Γ関数」なるものが潜んでいて結果0!=1という定義の正当性を遥かに超えて解析、数論において数え切れないくらいの貢献をしてるということはほとんどの人が認めるところだと思います。要するに定義はどうでも良いというか何か「面白い事実（言い換えると非自明な事実）」が得られるのかということです。基礎論の人はそう思ってないかもしれませんが。

お礼

＞数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。

便利かどうかでやってたら、それは数学ではなく、算数です。
それに、０＾０＝１を定義しない数学は、浅く感じるんですよね。
もっと突き詰めて考えて、その結果定義できないという結論なら納得ですが、面倒だから定義しない、というのは、情けないです。

０＾０とその近傍の構造は、（無限大を考えるのと同じくらい）面白い事実（非自明）と思えるのですが…
それに、Wikipediaでも１つの項目になるほど、関心が高い問題だと思います。
でも、あなたに興味がなければ、無視していいです。

ありがとうございました。

回答No.29

ringohatimitu

あなたのいう「距離」が元のユークリッド空間と整合性のとれる形で存在することは出来ません。例えば点列(1.1,100),(1.01,100),(1.001,100)...は通常の距離（ユークリッド距離）で(1,100)に収束しますがあなたの言うところの距離では原点に収束しますね。これはおかしいとは思いませんか？一体これらの点列はどっちに近づいてるのですか？こんな状態で関数x^yの連続性云々を議論しても全く意味が無いと思います。結局あなたの考えてるR^2は通常のユークリッド空間ではないということです。従ってx^yのいかなる点における連続性もユークリッド空間とは全く異なるものとなります。
質問する際に初めから「私は別の空間で考えていて距離は・・・」などと説明した上で議論を始めるのが当然じゃないですか？それでなければ他の方も注意されてるように混乱するばかりか議論は終結しません。何か矛盾点を指摘してもあなたが別の定義を採用し出すからです。

新しい距離を導入されるのは勝手です。ただそれを無理やり正当な議論無く別の距離と同じだと思い込んでそれを普及しようとしても拒否されるだけです。

お礼

＞例えば点列(1.1,100),(1.01,100),(1.001,100)...は

なるほど、確かに変わってしまってますね。
致命的ですね。ケアレスミスでした。
(0,0)以外では距離＜＞０の条件が必要ですね。

ありがとうございました。

回答No.28

33550336

No.23です。

まず訂正なのですが、私の書いた距離の公理に誤りがありました。すいません。
正しくは以下の通りです。
（１）　d(x,y)≧０　特に　d(x,y)=0のとき、x=y
（２）　d(x,y)=d(y,x)
（３）　d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)

＞d(p1,p2)=abs(p1-p2)
＞p1=abs(y1*log(x1)), p2=abs(y2*log(x2))
＞ここで、x2=0, y2=0を考えると、
＞d(p1,p2)=abs(p1-p2)=abs(abs(y1*log(x1))-0)=abs(y1*log(x1))
＞これで、いかがでしょうか？

駄目です。
距離の公理の(1)が満たされておりません。
実際その関数だと(2,0)と(3,0)の距離は０ですが一致していません。
そもそもあなたはlog0をどのように定義するのですか？
x2=0, y2=0を考えるとでてくるのですが、logは正の値しか定義されてませんよね？

＞そうですが、位相という概念がそもそもあやふやなもので、それほど厳密な証明はできないでしょう。
＞特に、位相の何が一致しているべきなのかも知りませんので。
＞問題があれば、指摘してください。

＞距離の定義を変えても、連続性とか微分可能とかの定義は変わりないですから、従来の定義をお使いください。
＞距離の定義の変更は、目盛の変更くらいのものです。

だから問題を指摘したのですが…
距離の定義を変えるということは位相を変えることにつながります。
位相を変えれば連続の定義も変わります。
実際、定義域や値域の位相を適当にいじることによってどんな関数（写像）でも連続にも不連続にもできます。
興味があるのでしたら離散位相や密着位相という言葉を調べてみてください。
今回の議論からは大きくはずれてしまうので深入りはしないことにします。
何が言いたいのかというと、あなたが言ってるように、距離の定義を変えることは目盛りを変更するくらいのものではないということです。
空間そのものの性質が変わってしまうのだから。

＞距離空間の説明を読んでください。
＞微分などの概念は、何も変わりませんから。

確かに距離空間の説明には微分の概念は一切でてきません。
しかし微分の概念の説明に距離空間の話が出てくるのです。
おそらくあなたの知っている微分とは基礎解析レベルの微分でしょう。
大学初年度で習う微分は定義域、値域の数ベクトル空間に通常の位相が入っていることを前提に話を進めているからでてきていないだけです。
多様体上で微分を扱うとき、微分可能性は多様体の位相、そして微分構造に依存します。

位相がわかっていないのなら上の説明を読んでも意味が理解できないでしょうから、とにかく距離の定義は変えてはいけないということで納得してもらうしかないですね。
変えてしまうとあなたが思っている以上に大きな問題が生じてしまうので。

それをふまえた上でNo.17の回答に対する反論（？）をお願いします。

お礼

＞実際その関数だと(2,0)と(3,0)の距離は０ですが一致していません。

距離ではなく、擬距離と判断してました。
無害そうに見えたのに、有害でしたね。
しばらくは、もう一度距離を探して見ます。
（多分、簡単に見つかるなら、すでに見つかっているでしょうが…）

＞そもそもあなたはlog0をどのように定義するのですか？
＞x2=0, y2=0を考えるとでてくるのですが、logは正の値しか定義されてませんよね？

xlog(x)の極限値が０になるだろう、程度に考えていましたが。

＞距離の定義を変えることは目盛りを変更するくらいのものではないということです。

擬距離空間は、さらに問題があるみたいですね。
まずは、距離空間に限定しようと思います。

＞大学初年度で習う微分は

最終学歴は大学でなく、しかも工学系です。ですので、証明系は苦手としております。
基礎解析レベルという指摘は、当っているでしょう。

＞じゃあなぜx^0が連続である必要があるのですか？
＞別に「連続性をx^0に求めるという制限」はないと思いますが。

距離空間のアイデアは失敗しましたが、途中までは合っていると思います。（根拠はないです）
つまり、x^0は(0,0)を通りますが、他の曲線は、結局ぐるぐる回っているのではないか、ということです。
多分logの性質から来ているのでしょう。
それとも、このアイデア自体がおかしいでしょうか？

よって、「連続性をx^0に求める」という方針に変更はありません。

＞多変数関数f(x,y)が(0,0)で連続であるための必要十分条件は(x,y)が、どんな曲線に沿って(0,0)に近づいても、ある一定の極限値をとることです。

つまり、x^0以外はどんな曲線も(0,0)に近づいていない、とすれば問題ない訳ですね。
それだと、他に曲線が存在しなくても、連続であるとこが言えるのです。

ありがとうございました。

補足

諦めが悪いほうなので、議論はまだ終わっていません。

まだアイデア段階なので、色々矛盾がある定義をしています。
距離をまた作りました。
d(x1^y1,x2^y2)=root((x1-x2)^2+(logy1-logy2)^2)
d(x1^y1,0^0)=root(x1^2+(logy1-log0)^2)
これを、今の所証明なしに、使います。

つまり、y=0なら有限、y<>0なら無限という距離を勝手に作り上げました。
＃log0の定義もしてませんが…
まあ、このような性質だけが存在する、仮想的な関数です。

回答No.27

orcus0930

まずは距離の公理を理解してください。
公理のほうで用いてある
d(x,y)はxとyの距離です。x,yは座標だったり、ベクトルだったりします。
あなたのいう
d(x,y)は(0,0)と(x,y)の距離です。

なので、公理の形で示すなら
d((0,0),(x,y))=abs(y*log(x))
ですね。
これが、公理の3つを満たすことを示してください。

p1,p2は座標のはず、
p1=abs(y1*log(x1))　この瞬間にp1は座標ではなくなるな。
絶対値はスカラーだよね

お礼

No.29の回答のような事情により、
証明を保留いたします。

ありがとうございました。

回答No.26

orcus0930

No24はできれば、
あなたの距離が、No23の方の
距離の3つの公理を満たすこと示してから解答してほしいです。

連続性や微分は本質的に距離の概念を用いているので、
あなたのいう「距離」が公理を満たさないのであれば、
従来の定義なんて用いることはできませんよね?

お礼

No.29で、この距離の定義にミスが見つかりましたので、
証明を保留とさせていただきます。

ありがとうございました。

回答No.25

Tacosan

(x, y)→(0, 0) という状況を考えてるんだから, 距離関数 d は
d: R^2×R^2→R^* (非負実数)
でないと困るんだけどね.
「(0, 0) との距離」はわかったけど, その他の点同士の距離は? まさか「今は考える必要ない」なんて思っているわけないですよね (「距離」というなら公理をちゃんと満たす必要があるし, 距離の公理を満たすことを示すためには「(0, 0) 以外の点」同士の距離を考えなければならない).

お礼

No.23で回答済みです。

ありがとうございました。

回答No.24

orcus0930

かりにあなたのいう距離d
d(x,y)=abs(y*log(x))
において、
関数の
連続性とはなんですか?
微分可能とはなんですか?
定義をお願いします。
（1変数だけの定義だけでなく多変数関数でも用いることができる定義をお願いします）

距離の定義を変えたんだから、これらが
従来の連続性や微分可能と同値だということを示してください。

補足お願いします。
同値ではないなら、上記の言葉は使わないでください。
混乱のもとです。

お礼

距離の定義を変えても、連続性とか微分可能とかの定義は変わりないですから、従来の定義をお使いください。
距離の定義の変更は、目盛の変更くらいのものです。

距離空間の説明を読んでください。
微分などの概念は、何も変わりませんから。

ありがとうございました。

回答No.23

33550336

No.17です。

＞よく分かりませんが、注釈が少ない理論の方が正しいことはよくあることです。
＞連続にならない場合は、必ず理由があります。逆に理由がなければ、連続になるのが普通です。

常識的には、普通に考えて、ということですか？
あなたが嫌いな考え方ではないのでしょうか？
数学的に厳密な根拠なく言っているということですか？

＞それならもう、片が付きました。
＞近づき方を間違っていたのです。
＞距離d=abs(y*log(x))
＞これに従えば、極限値は１になります。

関数の連続性を扱うときには、値域Ｒに通常の位相(Euclid距離位相)を入れて考えるのが「普通」です。
なので、新たな距離を導入して関数の収束を議論する場合、その距離による位相と、通常のEuclid距離による位相が一致していることを確かめる必要があります。
それに位相空間Ｘ上の距離ｄとは実数値関数

ｄ：Ｘ×Ｘ→Ｒ

で次の性質
（１）　d(x,y)≧０　特に　ｘ＝ｙのとき　d(x,y)=0
（２）　d(x,y)=d(y,x)
（３）　d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)
をみたすものをいいます。
どのような実数値関数ｄをもってR^2上の距離を定義すれば(0,0)と(x,y)の距離がabs(y*log(x))になるのでしょうか？
補足をお願いします。

お礼

＞数学的に厳密な根拠なく言っているということですか？

そう言えますね。関心が距離に移ったので、手を抜きました。

＞その距離による位相と、通常のEuclid距離による位相が一致していることを確かめる必要があります。

そうですが、位相という概念がそもそもあやふやなもので、それほど厳密な証明はできないでしょう。
特に、位相の何が一致しているべきなのかも知りませんので。
問題があれば、指摘してください。

＞どのような実数値関数ｄをもってR^2上の距離を定義すれば(0,0)と(x,y)の距離がabs(y*log(x))になるのでしょうか？

d(p1,p2)=abs(p1-p2)
p1=abs(y1*log(x1)), p2=abs(y2*log(x2))
ここで、x2=0, y2=0を考えると、
d(p1,p2)=abs(p1-p2)=abs(abs(y1*log(x1))-0)=abs(y1*log(x1))
これで、いかがでしょうか？

ありがとうございました。

回答No.22

jmh

> でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。
>
まず、ここがよく分からないです。「定義する」ことで（数学的な意味での）「矛盾」が生じるコトなんてないと思うのだけど。この意味を教えてください。

お礼

(1)～(8)で示した分です。
１でも無矛盾と言っているのは(1)～(3),(6)。
１以外では矛盾と言っているのは(7),(8)。
(4),(5)は０では矛盾と言っている。

ありがとうございました。

回答No.21

ringohatimitu

あなたのいう「距離」の意味が分かりました。結局一部の曲線しか選ばないわけですね？y=f(x)という曲線でylogx=f(x)logx→0を満たすものをとればそれは明らかにlimx^y=1を満たします（ただの言い換えです）。しかしほんの一部の曲線に絞る意図は何ですか？更に別の「距離」を導入しない理由は何でしょう？

またあなたは「従来の連続の定義」までも変えようとしていますね。これは0^0の定義の変更よりも深刻ですね。回答者が何か反論しあなたが従来の定義ではそれに反論できないからといっていつの間にか新しい定義を採用してそれを以って反論するのは筋違いだと思いますよ。

お礼

＞ただの言い換えです

そう思えるほど、自明だったんです。

＞しかしほんの一部の曲線に絞る意図は何ですか？

ほんの一部であっても、すべての点を通ります。
すべての点から、(0,0)に続く曲線を作ることができます。
それで十分ではないですか？

＞別の「距離」を導入しない理由は何でしょう？

距離を導入する時、その後の証明が楽になるようなものを選ぶのは当然です。
問題によって、極座標でやってみたり、直交座標にするのと同じです。

＞「従来の連続の定義」までも変えようとしていますね。

そういうことになりますね。
でも、数学的な問題はないかと思います。

＞いつの間にか新しい定義を採用してそれを以って反論するのは筋違いだと思いますよ。

ユークリッド距離だけを考えるのが変ですよ。
筋違いとかでなく、数学的な反論をお願いします。

ありがとうございました。

回答No.20

orcus0930

なぜ距離の定義が、
>距離d(x,y)=abs(y*log(x))
になるの？

普通、距離は
d(x,y)=abs(x,y)=√(|x|^2+|y|^)
にすると思うんだけど。

あと、
0^(-1)は数ですらありません。
∞を数だと思ってるなら大間違いです。
なのでNo8は演算不能です。答えが出るのはなぜ?

あと
あなたはz=x^yをどう思ってるのかな?
曲面なんだから、ある特定の方向からx=y=0で不連続なら
微分は不可能。

あなたはx軸方向から原点に近づいたら不連続は認めているようなので、
曲面z=x^yはx=y=0で不連続なんだから微分なんてできない。

あなたが反論として微分を持ち出すのは間違ってます。

これが分からないなら、コーシーリーマンなどを復習しましょう。

お礼

距離にも色々あります。
ちゃんと距離空間の説明を見ながら、それに沿って作りました。
あなたが言っているのは、ユークリッド距離ですね。
でも、距離空間の定義に沿ったものはすべて距離となります。
（私が導入したのは、擬距離らしいですが）

＞0^(-1)は数ですらありません。
＞∞を数だと思ってるなら大間違いです。

数ではありませんが、数のように扱える時もあります。
そして答が出るとしか言えません。

＞曲面なんだから、ある特定の方向からx=y=0で不連続なら微分は不可能。

これは、偏微分の意味での「微分不可能」ですね。
でも、この意味では使っていません。
曲線に沿った点についても微分が可能（１変数です）で、これも「微分可能」と言います。
どっかで、意味がごっちゃになっているのではないでしょうか？

ありがとうございました。