０の０乗は１、にしたい（続き）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
の続きです。

０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。
でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。

そこで、べき乗（累乗）の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

なお、常識的には…という話は、遠慮願います。
＃Wikipediaも変わりますので。

これまでの議論で主張したこと：
(1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。
(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。
(3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外）
(4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。
(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。
(6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。
(7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。
(8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。

たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。
＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

回答No.5

ringohatimitu · ベストアンサー

前回の質問におけるたくさんの回答者さんの結論ではっきりと終わってると思いますが結論は「自然数を相手にする限りその定義で問題無い」です。自然数の指数のやり取りだけが問題になってるのですから。他への関連性は全くないです。更にそのように定めて何か得することがあるのかと言えば皆無だと思います。0^0を定義しなければならない状況にこれまで遭遇したことは多分無かったと思います。便宜上0!=1と定義することは多々ありましたが（ただこの場合は階乗の拡張であるΓ関数と矛盾することがない、すなわちΓ(n)=(n-1)! (n≧1)ですがn=0として自然に連続に拡張できる）。
連続性が絡んでくると0^0をどのように定めてもx^yは連続にはならないことはすでに示されてます（例えばlim[x→∞] x^{-1/(log x)} (=1/e)から明らかですね）。

以下個人的意見ですが数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。上で挙げた階乗との比較ですが0^0の場合は連続に拡張できることもなく単にその値を定義しただけのように思われます。一方0!=1の定義自体何と言うこともないですが（これもこれだけでは全く面白みがない、便利なことはしばしばですが）、実は背景に「Γ関数」なるものが潜んでいて結果0!=1という定義の正当性を遥かに超えて解析、数論において数え切れないくらいの貢献をしてるということはほとんどの人が認めるところだと思います。要するに定義はどうでも良いというか何か「面白い事実（言い換えると非自明な事実）」が得られるのかということです。基礎論の人はそう思ってないかもしれませんが。

お礼

＞数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。

便利かどうかでやってたら、それは数学ではなく、算数です。
それに、０＾０＝１を定義しない数学は、浅く感じるんですよね。
もっと突き詰めて考えて、その結果定義できないという結論なら納得ですが、面倒だから定義しない、というのは、情けないです。

０＾０とその近傍の構造は、（無限大を考えるのと同じくらい）面白い事実（非自明）と思えるのですが…
それに、Wikipediaでも１つの項目になるほど、関心が高い問題だと思います。
でも、あなたに興味がなければ、無視していいです。

ありがとうございました。