０の０乗は１、にしたい（続き）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
の続きです。

０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。
でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。

そこで、べき乗（累乗）の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

なお、常識的には…という話は、遠慮願います。
＃Wikipediaも変わりますので。

これまでの議論で主張したこと：
(1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。
(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。
(3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外）
(4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。
(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。
(6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。
(7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。
(8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。

たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。
＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

回答No.5

ringohatimitu · ベストアンサー

前回の質問におけるたくさんの回答者さんの結論ではっきりと終わってると思いますが結論は「自然数を相手にする限りその定義で問題無い」です。自然数の指数のやり取りだけが問題になってるのですから。他への関連性は全くないです。更にそのように定めて何か得することがあるのかと言えば皆無だと思います。0^0を定義しなければならない状況にこれまで遭遇したことは多分無かったと思います。便宜上0!=1と定義することは多々ありましたが（ただこの場合は階乗の拡張であるΓ関数と矛盾することがない、すなわちΓ(n)=(n-1)! (n≧1)ですがn=0として自然に連続に拡張できる）。
連続性が絡んでくると0^0をどのように定めてもx^yは連続にはならないことはすでに示されてます（例えばlim[x→∞] x^{-1/(log x)} (=1/e)から明らかですね）。

以下個人的意見ですが数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。上で挙げた階乗との比較ですが0^0の場合は連続に拡張できることもなく単にその値を定義しただけのように思われます。一方0!=1の定義自体何と言うこともないですが（これもこれだけでは全く面白みがない、便利なことはしばしばですが）、実は背景に「Γ関数」なるものが潜んでいて結果0!=1という定義の正当性を遥かに超えて解析、数論において数え切れないくらいの貢献をしてるということはほとんどの人が認めるところだと思います。要するに定義はどうでも良いというか何か「面白い事実（言い換えると非自明な事実）」が得られるのかということです。基礎論の人はそう思ってないかもしれませんが。

お礼

＞数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。

便利かどうかでやってたら、それは数学ではなく、算数です。
それに、０＾０＝１を定義しない数学は、浅く感じるんですよね。
もっと突き詰めて考えて、その結果定義できないという結論なら納得ですが、面倒だから定義しない、というのは、情けないです。

０＾０とその近傍の構造は、（無限大を考えるのと同じくらい）面白い事実（非自明）と思えるのですが…
それに、Wikipediaでも１つの項目になるほど、関心が高い問題だと思います。
でも、あなたに興味がなければ、無視していいです。

ありがとうございました。

回答No.39

33550336

No.33です。

＞指数が整数でも、底が０には問題があると言われるのでしょうか？
＞つまり、指数を整数に限定しても、０＾０＝１を定義すると、矛盾が発生するということでしょうか？
＞私は、この場合でも矛盾は発生しないが、指数を実数にすると極限値が求まらないので、０＾０＝１は定義されない、と記述するつもりなのですが。

すいません。確かにその通りです。指数を整数に限定するならば問題はありません。

＞＞それにこの定義を正当化するためには他のどんな距離を導入してもf(x,y)を１以外の値に定めれば連続にできないことを示さなければなりません。

＞これは、一般的に言えることですか？
＞つまり、ある距離（たとえばマンハッタン距離）である事柄を証明しても、それはどんな距離を導入しても成り立つことを示せなければならないものですか？
＞それとも、ユーグリッド距離だけが、他のどんな距離でどうであろうと関係なく、ユーグリッド距離だけで証明が可能なのでしょうか？
＞位相のことは分かりませんので、常識を教えて頂ければ、信じることに致します。

すいません。書き方が悪かったようですね。
少し私の主観が入った意見になりますが…

あなたが今やろうとしていることは、ある特別な（一般的には使用されない）距離を基準にして定義を変えよう、ということです。
一般的に使用されている距離（e.g Euclid距離）を基準にして定義を定めるならそれは自然だと思いますが、あなたがやろうとしていることは少し不自然かと思います。
別にEuclid距離だけが特別というわけではありません。
ただ比較的直感と結びつきやすいため一般的に使用されているだけです。
だから、あなたが見たこともない距離を持ち出して定義を変えるというのなら、当然他の距離での考察も必要なのではないか？ということです。

もしかしたら整数での指数の定義、R^2の距離をそれぞれ適当に変えれば、
0^0を他の値に矛盾なく変えることができるかもしれません。

相当特別なことをする以上、その可能性を否定する必要はあるのではないか？と、「思った」だけです。

お礼

＞指数を整数に限定するならば問題はありません。

ありがとうございました。

＞別にEuclid距離だけが特別というわけではありません。
＞ただ比較的直感と結びつきやすいため一般的に使用されているだけです。

ありがとうございました。
それを聞いて安心しました。

ところで、またわがままになりますが、ここで質問を一旦締め切ろうと思います。
＃締め切るまでのコメントにもお礼はお返しします。

あまりにも長く続きましたので、極限値だけに絞って整理したくなりました。
新しい質問を投稿したのちに、備考でお知らせして締め切ります。
＃夕方頃と思います。

今度作った距離の定義は、自分ではかなりすっきりしていると思います。
＃発散はありませんし、完全に全単射です。
改めて不備な点を指摘頂ければと思います。
よろしければ、そちらへのコメントもお願いします。

補足

予告通りの再質問はしませんでした。

もう少し知識が溜まるまで、距離空間は諦めます。

距離空間以外でのコメントは受け付けます。

回答No.38

arrysthmia

No.30 から、話題が横流れしていたんですね。
＞ d(x1^y1,x2^y2)=root((x1-x2)^2+fusigi(y1,y2)^2)
＞ d(x1^y1,0^0)=root(x1^2+fusigi(y1,0)^2)
＞ これは、y1=0でabs(x1)、y1<>0で発散です。

これは、流石に無茶苦茶です。
距離の公理云々と言っているは、三角不等式のことでも考えているのでしょうが、
それ以前に、d(,) が、任意の二点間で定義されてすらいないのでは、
距離にはなりません。

参照→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
＞『集合 X上で定義された』 2 変数の実数値関数
＞ d: X × X → R
＞ が、任意の x,y,z ∈ X に対して

それとも、これも編集してしまうつもりですか？

「距離」の概念を拡張して、値域を R∪{ +∞ } に広げたとしても、
y が異なると距離が +∞ では、y 一定とした部分空間ごとにバラバラで比較不能
ですから、ひとつながりの距離空間としては意味がありません。

位相空間について、少しは勉強するつもりがあるなら、
たいていの教科書の序章で「位相」とは何かを紹介する部分に書いてある
「離散位相」という用語の説明を読んでみなさい。

No.31 さんは、「間違いを指摘できない」のではなく、
貴方ほどわかっていない相手には、間違いを間違いと理解させることができなかった
のだと思いますよ。一連の回答で、ずいぶん丁寧に説明されておられたようですが。

No.33
＞ つまり、ある距離（たとえばマンハッタン距離）である事柄を証明しても、
＞ それはどんな距離を導入しても成り立つことを示せなければならないものですか？

二つの距離関数 d1(,) d2(,) が同じ位相を定めるのは、
任意の d1 距離近傍の中に、それに含まれる d2 距離近傍が存在し、
任意の d2 距離近傍の中に、それに含まれる d1 距離近傍が存在するときです。
このとき、d1 距離空間で証明できた位相的性質は、d2 距離空間でも同様に証明できます。
収束性などの概念も、ふたつの距離空間で一致します。
このような位相空間の対を「同相」と言うのです。
貴方の距離空間がユークリッド空間と同相でないことは、指摘済みですね。

No.35
＞これによって、定義した距離空間は、ユークリッド空間と全単射であり、
＞同相と言えるのではないでしょうか。

写像 (x,y)→(log x,log y) は、(0,+∞)^2 を (-∞,+∞)^2 へ連続に全単射しますが、
No.30 のような d(,) を定義して、x^y を (0,+∞)^2 の側の空間で考えようとしても、
その空間には (0,0) が存在しません。

貴方の距離空間に後から (0,0) を付け加えると、空間の位相自体が変わってしまいます。
よって、もはや「同相と言え」ません。
複素平面に一点 { +∞ } を加えると、平面の位相がどうなったか？ それと比較してみると
よいでしょう。

お礼

＞これは、流石に無茶苦茶です。

そうですね。いいアイデアと思いましたが、同相ということが示せなくなるので止めました。

＞ひとつながりの距離空間としては意味がありません。

そのようですね。
なんとなく思っていましたが、同相な部分＋別な位相みたいです。
その場合に、どういう扱いになるのか、考えなければなりませんね。

＞「離散位相」という用語の説明を読んでみなさい。

たぶん、これに真正面から当らなければ、答えは無いんでしょうね。
ついていけるとは、あまり思えないですけど…
でも、これ以上は分からない、ということが分かれば、納得できます。
それはそれで、私が望む結果です。
＃あきらめが悪いのが欠点で、それで迷惑を掛けてますが…

＞No.31 さんは、「間違いを指摘できない」のではなく、
＞貴方ほどわかっていない相手には、間違いを間違いと理解させることができなかった
＞のだと思いますよ。一連の回答で、ずいぶん丁寧に説明されておられたようですが。

私は、この意味で言っているのですが…
No.31さんが位相についての知識があるのは承知しています。
知識をばかにしているのでは、ありません。
貴重な意見をたくさんもらっています。
でも、たとえば私が中学生で、No.31さんが大学生だとして、その中学生が何故間違っているのか説明できなければ、話し合いになっていないな、と言っているのです。
わがままな論理と思いますが、私の理解力が不足しているのですから、仕方がないです。

＃学生の頃は、授業も聞かないし、ノートも取らない生活でした。
＃教えられる、ということが苦手なのです。

＞複素平面に一点 { +∞ } を加えると、平面の位相がどうなったか？ それと比較してみるとよいでしょう。

たしかに同じ関係です。
その一点に、広がりがあると考えればいいんでしょうか。
＃むずかしそうです。

ありがとうございました。

回答No.37

Tacosan

「距離の公理を満たす」というなら, 実際に示してください.

お礼

私の定義した位相空間について、加算、スカラー倍を定義します。
加算：(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1*y2)
スカラー倍：(x1,y1)*n=(x1*n,y1^n)
これによって、ベクトル空間であることが示される。

さらに、内積を定義します。
内積：(x1,y1)・(x1,y1)=x1*x1+logy1*logy1=x1^2+(logy1)^2
これによって、計量ベクトル空間であることが示され、距離空間になるような記述があります。

同相ということを示したことで、既に証明は終わっていると思います。

＞実際に示してください

これがどういうものを指すのか分かりませんから、たとえば通常のユークリッド空間に対して、どういう証明であれば納得するのかを、まず示してください。

ありがとうございました。

回答No.36

orcus0930

次にいうことは厳密な確認をしていないので、
参考までに。

あなたの定義なら、
「x軸(y=0)上の点」と「x軸とほんの少しでも離れた点」との距離は無限にならないか?

なら、0^0での連続性云々の前に
1^yでのy=0での連続性が破綻しているように思うんだが
（yが0に近づいて行った時に0になった瞬間にそれまで無限だった距離がいきなり0になる気がする）

直観的になるが、連続性破綻してるんじゃないかな?
どうだろ

お礼

＞（yが0に近づいて行った時に0になった瞬間にそれまで無限だった距離がいきなり0になる気がする）

私も同感です。（でも0じゃなく、1です）
でも、これくらいの困難がないと、これまで解けなかったのが嘘ですので…
＃定義域が開区間(0,∞)であれば、0は含みませんので、連続なんですが。
＃閉区間[0,∞)への適応方法は、まだ見当がつきません。

とりあえず、この問題は置いといて。
x^0がこの距離空間で0^0を通ることを示すことが先決です。
fusigiなんて関数を作っちゃうと、同相と言えなくなるので、log0-log0が相手となります。
何かアイデアありませんか？

ありがとうございました。

回答No.35

Tacosan

先に距離の公理 (特に三角不等式) を満たすことを示そうよ.
だいたい「発散」って何だよ....

お礼

また慣れない概念を使うので、間違ってたら指摘してください。

私の記憶では、写像f(x)=log(x)によって、Ｒ(0,∞)はＲ(-∞,∞)に全単射されると思います。
二次のユーグリッド空間は、Ｒ(-∞,∞)×Ｒ(-∞,∞)ですので、写像fによって、Ｒ(-∞,∞)×Ｒ(0,∞)→Ｒ(-∞,∞)×Ｒ(-∞,∞)が成り立つと思うのですが、どうでしょうか。
＃記号の使い方が今一分かってません。

これによって、定義した距離空間は、ユーグリッド空間と全単射であり、同相と言えるのではないでしょうか。
同相であれば、距離の公理は成り立つと思います。

まだまだ問題はありますが、とりあえず進んだ分だけお答えしました。

ありがとうございました。

回答No.34

arrysthmia

No.9 補足
＞ どんな極限値からであろうと、式を変形して、より0^0に近づくようにしてやると、
＞ 極限値をいくらでも１に近づけることができるのです。（旧ANo.14）
＞ これは、x^yよりx^(y/2)がより１に近いからです。

極限という概念が、全く理解できていないようです。

旧 No.14 補足
＞ 確かに、この式の極限値は５です。
＞ でも、この式の０＾０への近づき方は、十分ではないのです。
＞ 式を変形してみます。（指数部を半分にします）
＞ (5^(-1/(x^2)))^(-x^2/2)
＞ この式も、ある極限値があり、その値はルート５です。
＞ そして、この式は以前の式より、より０＾０に近づいており、より１に近づいています。
＞ つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、
＞ これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。

よくよく詐術の好きな人ですね。
その与太話は、何かを説明しているような気がするだけで、
実は、何も説明していません。

指数を半分にするだけでなく、底を四分の一にしてみましょう。
(5^(-1/(x^2)/4))^(-x^2/2).
この式の x→0 での極限は、5^2 です。
X^Y の (X,Y) を (0,0) へと近づけたのに、極限は 1 から遠ざかってしまいましたね？

＞ つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、
＞ これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。

が、単なる雰囲気話で、内容のない文字列であることの証拠です。

No.12 補足
＞ 論理的な思考ができなければ、意味不明ではなく、無意味な記述になります。

言い射て妙です。貴方自身に当てはめてみると、味わいが増すでしょう。

No.13 補足
＞ 関数f(x,y)=x^y に対し、距離d(x,y)=abs(y*log(x))を導入します。
＞ 0^0に近づくとは、この距離dが0になっていくことと定義します。

も、また酷い代物ですね。
y log x が 0 に近づくことを「0^0 に近づく」と定義すれば、
そのとき、exp( y log x ) が exp 0 に近づくのは、
同語反復であって、何の証明でもありません。
そうなるように、「0^0 に近づく」の定義のほうをスリ替えただけです。

実生活では、証券セールスか何かされている方なんですか？

お礼

＞y log x が 0 に近づくことを「0^0 に近づく」と定義すれば、
＞そのとき、exp( y log x ) が exp 0 に近づくのは、
＞同語反復であって、何の証明でもありません。

この定義した距離が誤りであることは、No.29で明確に認めています。

その後、No.30で二番煎じかもしれませんが、また新たな距離を定義しました。
ただし、これが距離空間になっているかの証明はまだ提示できておりません。

＞＞ つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、
＞＞ これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。

＞が、単なる雰囲気話で、内容のない文字列であることの証拠です。

そうですね。内容のない文字列であることも認めます。
数学は論理がすべてですからね。

＞同語反復であって、何の証明でもありません。
＞そうなるように、「0^0 に近づく」の定義のほうをスリ替えただけです。

ということで、変えましたので、また見てください。

ありがとうございました。

回答No.33

33550336

＞話にならない＝間違いを指摘できない、のであればそれで構いません。

今まで散々指摘してきたのですが。。。
あなたがそれをすべて無視しているんですよね…？

＞現在の所、０＾０＝０には問題があること、指数が整数の場合は定義の変更が可能なことは証明できたと思っています。
＞それで、当面はこの２つのことをWikipediaに記述しようかと思いますが、やはり本質は極限値ですね。

確かに0^0=0は問題があります。
だから未定義としているのです。
指数が整数で底が０以外なら問題ないと思います。
この２点に関してはお好きにどうぞ。

多分これ以上位相空間や微積分の話をしても無視されるだけなのでもうやめます。
仮にあなたがおっしゃっているようにf(x,y)=x^yを(0,0)での値を１とすれば連続に拡張できるような距離（位相）が見つかったとします。
もしかしたら見つかるかもしれません。それは私にもわかりません。

ではこの特別な空間でf(x,y)を連続にするためにあなたは0^0=1にするというのですか？
こんな不自然な空間を基準に定義を決めることは「普通」しないと思います。
まあ何度も言われていると思いますが、「したければ自由にしてください。」
ただし一般的ではないので、個人の趣味でおさえてくださいね。

それにこの定義を正当化するためには他のどんな距離を導入してもf(x,y)を１以外の値に定めれば連続にできないことを示さなければなりません。
もしこれが示されれば大発見だと思いますが、真であるかも定かでないし、とても難しいと思います。
頑張ってみてください。
応援してます。

お礼

もう止めたいと言われているので、さらに質問するのは心苦しいですが…

＞指数が整数で底が０以外なら問題ないと思います。

指数が整数でも、底が０には問題があると言われるのでしょうか？
つまり、指数を整数に限定しても、０＾０＝１を定義すると、矛盾が発生するということでしょうか？
私は、この場合でも矛盾は発生しないが、指数を実数にすると極限値が求まらないので、０＾０＝１は定義されない、と記述するつもりなのですが。

＞それにこの定義を正当化するためには他のどんな距離を導入してもf(x,y)を１以外の値に定めれば連続にできないことを示さなければなりません。

これは、一般的に言えることですか？
つまり、ある距離（たとえばマンハッタン距離）である事柄を証明しても、それはどんな距離を導入しても成り立つことを示せなければならないものですか？
それとも、ユーグリッド距離だけが、他のどんな距離でどうであろうと関係なく、ユーグリッド距離だけで証明が可能なのでしょうか？
位相のことは分かりませんので、常識を教えて頂ければ、信じることに致します。

たくさんの回答、ありがとうございました。

回答No.32

ringohatimitu

No.31さんが何度も注意しているように別の空間で考えるだけの話ですから元のx^yの「ユークリッド空間における」連続性の議論とは全く関係ありません。

ところでNo.31補足にある説明はほとんどよく分かりませんがあなたは平面上の２点間の「距離」を導入しようとしてるわけですね？なのになぜ「曲線が(0,0)に近い」という概念が出てくるのですか？今度は点と曲線の距離とか曲線と曲線の「距離」を暗に定義されてるのですか？

数学に対する好奇心はとても重要でそういった探究という意味ではとても良いと思いますが注意しなければならないのは自己流で不正確な議論のまま数学をやっていくのは逆に危険だということです。誤った知識のままそれが頭から離れなくなってしまうからです。現にあなたは距離という考え方を正しく理解してるようには思えませしあやふやなまま続けようとしています。他の色々な考え方も十分に吸収出来るようにすることの方が今の段階では質問者さんにとって重要なことだと思います。とりあえず基礎的な事柄を一通り学んでみて（位相、微積分など）、しばらく経った後で今考えていた事を振り返ってみてはどうでしょうか？あの時は随分と自明なことを考えていたものだと思うことも私自身たくさんありました。色々自分なりの定義を試したことも何度もあります。ただその正当性を理解する為には他の定義の背景などもしっかりと理解し、更に自分が何を目的としてそうするのかはっきりと「数学的に」分かってないとナンセンスになってしまいます。これは当然「数学的に厳密な記述が出来る」ことも含みます。しっかりとした枠組みの中で明確な記述が出来ない場合その考えは誤ってる場合が多いです。
以上長くなりましたが参考までに。

お礼

＞元のx^yの「ユークリッド空間における」連続性の議論とは全く関係ありません。

そうですね。
でも、別の位相だろうと、それで微分可能になれば、真実味が出てくる訳です。

＞なぜ「曲線が(0,0)に近い」という概念が出てくるのですか？

曲線と点との距離は、最短距離として定義されていると思います。
そして曲線と点の距離が０とは、接することだと思います。

＞他の色々な考え方も十分に吸収出来るようにすることの方が今の段階では質問者さんにとって重要なことだと思います。

今現在存在する問題に対して必要な知識を得て行く方が、知識の獲得がうまく行く場合もあります。
大抵の公式などは、そうやって必要があって編み出されたものでしょうし。

＞これは当然「数学的に厳密な記述が出来る」ことも含みます。

すみませんが、興味ないです。それで迷惑なことは理解しますが…
あくまでも趣味の数学ですので、誤りは怖くないのです。

でも、Wikipediaにあいまいなままの知識を記述することはしませんから、それは心配しなくていいです。
表現の間違いだけならば、誰かが直してくれるでしょう。

ありがとうございました。

回答No.31

33550336

何度言えばわかるのでしょうか？
距離を定義を変えると連続、微分可能なども意味も変わります。
なので定義が一致することを考えてからでないと無意味な議論になります。

位相の意味がわからないのなら話になりません。
勉強して出直してきてください。

お礼

ユークリッド空間では微分可能ではなく（これは確定）、極限値を示さなければ定義を認めないのであれば、別の位相を考えるしかないです。

＞距離を定義を変えると連続、微分可能なども意味も変わります。

微分不可能な点を微分可能にしようとしているのですから、当然です。

＞位相の意味がわからないのなら話になりません。

現在の所、０＾０＝０には問題があること、指数が整数の場合は定義の変更が可能なことは証明できたと思っています。
それで、当面はこの２つのことをWikipediaに記述しようかと思いますが、やはり本質は極限値ですね。

話にならない＝間違いを指摘できない、のであればそれで構いません。

ありがとうございました。

回答No.30

33550336

No.28です。

＞距離ではなく、擬距離と判断してました。
＞無害そうに見えたのに、有害でしたね。
＞しばらくは、もう一度距離を探して見ます。
＞（多分、簡単に見つかるなら、すでに見つかっているでしょうが…）

距離を探すだけでは駄目であることをNo.28で書きましたよね？

＞距離空間のアイデアは失敗しましたが、途中までは合っていると思います。（根拠はないです）

あってないです。それをNo.17で指摘して丁寧に証明までしてのですが。
それに数学的に根拠もないことを安易に信じるべきではありません。

＞xlog(x)の極限値が０になるだろう、程度に考えていましたが。

甘いです。それはだめです。
極限値とその点での値では意味が大きく異なります。
ε-δ論法からもう一度やり直してみることをおすすめします。

＞つまり、x^0は(0,0)を通りますが、他の曲線は、結局ぐるぐる回っているのではないか、ということです。

なぜ0^0が定義されていない段階で(0,0)を通ることがわかるのですか？
わかるわけありませんよね？

＞つまり、x^0以外はどんな曲線も(0,0)に近づいていない、とすれば問題ない訳ですね。

近づいている曲線はあります。
もちろん通常の距離の定義のもとで、です。

これまであなたとやりとりをしてきた結果わかったことがあります。
まずあなたは人の説明をほとんど読んでいません。
不利になる説明は特にそうです。No.28やNo.17の回答の反論がないのになぜまだ距離がどうとかx^yの連続がどうとか言えるのですか？
自分が納得いかない事実、あるいはわからないことは定義を変えてねじ曲げようというスタンスですか？
ある意味すばらしいとは思いますが。
まあがんこもほどほどにしたほうがいいと思います。
そしてあなたは証明が苦手なようですね。
工学系だということでなるほどと思いましたが、数学では自分の主張を説明する際に必ず証明する必要があります。
「根拠はありませんが」、「直感的に」などと言っていても相手にされません。
実際直感的に信じられない数学的な事実はたくさんあります。
バナッハタルスキーのパラドックスあたりが有名ではないでしょうか？
興味があれば見てみてください。
また証明を書くだけでなく読むのも苦手なようですね。
上のことともつながるのでしょう。

結局何が言いたいのかというと、もう少し人の説明、証明をちゃんと読んで、じっくり考えてみるべきだ、ということです。
あなたの説明は人の話を無視し、あなたの世界の中だけで進行しています。
そんなことをしていると誰も相手にしてくれなくなりますよ。

以上、私なりのアドバイスです。
この内容を理解したうえで、No.17の反論をお待ちしております。

お礼

無謀な距離をまた導入してしまいましたが、しばらくそれで話を進めます。

補足に示したように距離を導入します。
d(x1^y1,x2^y2)=root((x1-x2)^2+(logy1-logy2)^2)
d(x1^y1,0^0)=root(x1^2+(logy1-log0)^2)

ただし、これではlog0という未定義の関数がでますので、修正します。
fusigi(y1,y2):定義域はy1>=0, y2>=0
y1=0,y2=0ならば、fusigi=0
y1>0,y2=0またはy1=0,y2>0ならば、発散
y1>0,y2>0ならば、fusigi=logy1-logy2

これを使うと、距離は次のように表されます。
d(x1^y1,x2^y2)=root((x1-x2)^2+fusigi(y1,y2)^2)
d(x1^y1,0^0)=root(x1^2+fusigi(y1,0)^2)
これは、y1=0でabs(x1)、y1<>0で発散です。
＃これが距離の定義を満たすかは、おいおい考えていきます。

この距離を前提にすれば、x^0は(0,0)を通ります。
その他の曲線は、距離が常に発散していますから、近くではありません。
(0,0)の近傍がx^0しかないのですから、x^yは連続です。
＃位相のことは、例によって、分かっていません。

ありがとうございました。