バネにつるしたおもりと、単振動・正弦波との関係

質問

おもりをばねにつるして、一定の力を加えて離すと、単振動をする。
この伸び（縮み）と時間との関係は、サインとラジアンの関係に等しい。
という記述が参考書にあったのですが、どうしてそのような関係が成立するのでしょうか。

物理を２週間前に始めて、今日から波動の分野に入った初学者です。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

復元力（真ん中に戻ろうとする力）は、変位（真ん中からのずれ）に比例し、両者の向きは逆になります。

－ 復元力　＝　ばね定数 × 変位

－ 質量 × 加速度　＝　ばね定数 × 変位

記号で書けば、
－ｍａ　＝　ｋｘ
ａ　＝　－ｋ／ｍ・ｘ
です。

ところが、加速度ａというのは、ｘを時刻ｔで２回微分したものです。
ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｋ／ｍ・ｘ

ですから、ｘをｔで２回積分したときに、－ｋ／ｍ・ｘ　の形にならないといけません。

簡単のために、ｋ／ｍ ＝ １　だとすれば
ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　＝　－ ｘ

「２回微分したときに、単に、元の姿にマイナス符号がついた形になる」
という関数を思い浮かべましょう。

（sinｔ）’＝　cosｔ　→　（cosｔ）’＝　－sinｔ　
（cosｔ）’＝　－sinｔ　→　（－sinｔ）’＝　－cosｔ
（ｅ^(it)）’＝　ｉｅ^(it)　→　（ｉｅ^(it)）’＝　－ｅ^(it)

ここで、ｔは sin や cos の中身になっていますから、当然、ラジアンに相当します。

＞＞＞
おもりをばねにつるして、一定の力を加えて離すと、単振動をする。
この伸び（縮み）と時間との関係は、サインとラジアンの関係に等しい。

これは、厳密には間違いです。
なぜならば、離す瞬間においては、ばねは伸びていますから、
ｔ＝０　のとき　変位が０ではないからです。
ですから、サインではなくコサインですね。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

忙しかったため、遅れて申し訳ありません。
わかりやすい回答ありがとうございます。