極値の出し方

質問

y=(a-1)xlogx-(a-1)x+a
の極値を求めたいのですが、どのようにしたらいいでしょうか。また、場合わけなどは必要でしょうか。お願いいたします。
なめらかな関数の場合はｆ’（ｘ）=0のｘを出したらいいのですがそうでない場合の増減表の書き方がいまいちわかりません。

回答No.4

info22

#3です。
> logxが式に出てくる場合はどのようなときでも増減表を書くときはx>0の部分だけでよろしいのでしょうか。たとえばこの場合でもx>0の範囲だけグラフを書けばいいのでしょうか。

増減表を書くのは、原則として、独立変数（ここではx）の定義域（ここではx>0）だけでいいです。

しかし、定義域の下限～上限までを独立変数の変域として表を作ります。
例えば0<x<∞の場合、増減表の下限のx=0と上限のx=∞を増減表の変数のところに書きます。そのときの関数値が定まらない場合（未定義の場合）は、必ずしも関数の値を書かなくてもいいです。（極限値や±∞などを書く場合はあります。）無限大は値ではなく、限りなく大きくなる状態ですが、慣習上あたかも値のように∞の記号を使って増減表には書き込みます。

グラフについては 定義域のx>0の範囲だけで描けば良いですね。
というか、関数が定義されていない範囲ではグラフは描けませんね。

お礼

丁寧な解説をありがとうございました。
おかげさまでなんとかなりそうです。

回答No.3

info22

x>0
> y=(a-1)x*log(x)-(a-1)*x+a
y'=(a-1)log(x)
y''=(a-1)/x
y'(1)=0

a<1のとき
y''<0(x>0)（上に凸）
y'>0(x<1)
y'<0(x>1)
極大値y(1)=1（最大値）

a>1のとき
y''>0(x>0)（下に凸）
y'<0(x<1)
y'>0(x>1)
極小値y(1)=1（最小値）

a=1のとき
y'=y''=0(x>0),y=1(x>0)
極値を持たない。

増減表はご自分で描いて下さい。

0≦a<1の時
y(x)=0はx>1の実数解(1個)を持ちます。
これはy(1)=1>0>y(∞)である事で示せます。
limit[x→∞] y(x)<0
を示せばいいですね。

a<0の時
y(x)=0はx>1の実数解(1個)と0<x<1の実数解（1個）を持ちます。
これは
y(x→0)<0<y(1)=1>0>y(∞)である事で示せます。

a≧1のとき
実数解は持ちませんね。
a<0の時

補足

ありがとうございました。すごく丁寧でわかりやすかったです。
また、logxが式に出てくる場合はどのようなときでも増減表を書くときはx>0の部分だけでよろしいのでしょうか。たとえばこの場合でもx>0の範囲だけグラフを書けばいいのでしょうか。

回答No.2

sanori

追加の質問は、別に投稿しましょう。

回答No.1

sanori

こんばんは。

極値を求めるには、素直に、微分係数がゼロになる点を求めます。

(a-1)xlogx - (a-1)x + a
を微分すれば、
(a-1) + (a-1)logx - (a-1)
　＝ (a-1)logx

これがゼロということは、ｘ＝１　で極値を取るということです。

なお、私、計算ミスをすることがあるので、上記は検証してください。

補足

ありがとうございます。
続けて質問なのですが、a<1ならばy(x)=0が実数を解として持つことを示したいのですがどうすればいいでしょうか。