高校２年生に理解できる解法とは？

質問

近所の高校生（2年生）に質問されて困ってます。
解けなくて困ってるわけじゃないんで、問題自体は簡単なものなんですが、私が示した解法が2年生には理解できないようで、2年生に理解できそうな解法が見当たらず困ってるわけなんです。。。。。笑

3次関数：y＝x＾3＋3ax＾2＋3xのグラフ上の極大となる点をＰとする。aがいろいろの値をとる時に点Ｐの軌跡を求めよ。

と、いう問題なんですが、私の解は次のとおり。

y≡f（x）とすると、f´（x）＝3（x＾2＋2ax＋1）‥‥(1)で、これが極値を持つから、判別式＞0　即ち、｜a｜＞1　‥‥(2)
f´（x）＝0の2つの解をα、β（α＞β）とすると、x＝βで極大。
従って、y＝x＾3＋3ax＾2＋3x＝（x＾2＋2ax＋1）*（x+a）＋2（1-a＾2）x-aと変形して　‥‥(3).
(1)と(3)から、aを消去して、2y＝3x-x＾3と軌跡の方程式は出ます。
問題は、その軌跡の限界の求め方です。

私が示したのは、次の方法です。

（解法-1）

(1)とf´´（x）＝2（x＋a）から、f´´（-a）＜0より、0＜x＜1、x＜-1.
しかし、相手はいかんせん高校2年生、2階微分（2次導関数）は未習のようで、これは駄目。
次に示した方法は、

（解法-2）

(2)より｜a｜＞1であるから、β＝-（a＋√（a＾2-1））≡g（a）として、a＞1とa＜-1との2つの場合わけをして、a＞1の時はg（a）は減少関数からx＜-1.　a＜-1の時は、g（a）はaが減少すると｜a｜は増加してxは減少するから、0＜x＜1.

と、したのですがこの解も到底理解できないようで、そうするとこちらもお手上げ状態。
まぁ、数IIIの演習問題としてなら理解できますですが、高2相手に出題するのはどうかな？とは思うんですが、そうも言ってられない。
高2でも理解できるような方法はないでしょうか？

回答No.3

waseda2003

そもそも，本問は定石通りに数２で解ける問題なのに，
take_5さんが数３の問題と思い込んでしまったのが，
混乱の原因なのではないでしょうか。
また，上に書かれた解答も，(1)と(3)からaを消去しただけでは
(2)のaは残ったままですし，極大の条件も抜けています。

f'(x) = 3(x＾2＋2ax＋1) = 3{(x+a)^2-a^2+1}
であることに注意して，定石通りP(x，y)とおくと，
Pで極大となるための条件は
　　f'(x) = 3(x^2+2ax+1) = 0 …… (1)
　　-a^2+1<0（判別式正と同値）…… (2)
　　x<-a　…… (3)
を同時に満たすことで，さらに極大値の条件が
　　y = x＾3＋3ax＾2＋3x = (x＾2＋2ax＋1)(x+a)＋2(1-a＾2)x-a
　　　　　　…… (4)
あとは，(1)より a = -(x^2+1)/(2x) なので，これを(2),(3),(4)に
代入して（すべての）aを消去すれば，難なく求まります。
ちなみに， (2)に代入した結果は x≠±1，
(1)かつ(3)は x<0とx>0の場合分けになる
という部分が引っかかりやすいので注意を要します。

お礼

回答はありがたいのですが、誤解があるようですし、私の質問時の解もあくまで略解で詳細を書いたものではありません。

回答No.2

yuu111

こんばんは

その高校生の気持ちになって、「解法２」でわかりにくそうなところを質問してみます。

(2)より｜a｜＞1であるから、β＝-（a＋√（a＾2-1））≡g（a）として、

g(a)ってなに？置かないといけないの？

a＞1とa＜-1との2つの場合わけをして、a＞1の時はg（a）は減少関数から

減少関数って何？なぜ減少関数と確定できるの？

この話題は難関大向けの話題なので、高２だといくら優秀でもなんとなくしか分からないかもしれません。
現時点では、こういう話題があるという程度で満足すべきところかもしれません

お礼

回答ありがとうございます。<m(__)m>

＞この話題は難関大向けの話題なので、高２だといくら優秀でもなんとなくしか分からないかもしれません。

某予備校の夏の講習のテキストの問題だそうです。
高2ですから、先ほど私が書いた方法がおそらく模範解答ではないかと思います。
私も、久しぶりに考えました。。。。。笑

回答No.1

cattrack

この問題、数学IIIの問題ではないんですね？

数学IIIを学ばずしてこの問題を解くのは難しい気がします。

（解法-2）の方針で根気強く教えるしかないと思います。

あるいは、いっそのこと数学IIIを教えてしまうとか。

お礼

回答ありがとうございます。

＞この問題、数学IIIの問題ではないんですね？

数IIIは未習のようです。

実は、先ほど数IIの範囲で解けまして、高校生には教えておきました。
彼は完全にわかったようでもなかったのですが、なんのことはない解法は方程式です。
この解法なら、高2でも十分理解できると思いますが？　
でも、私が質問者なのでここには回答を書くことが出来ないようなので、それをここに書き込むことが出来ずにいました。大変に失礼しました。　<m(__)m>

f´（x）＝3（x＾2＋2ax＋1）＝0の2つの解をα、β（α＞β）とすると、解と係数の関係から　α＋β＝-2a、αβ＝1、｜a｜＞1であるから、結局｜α＋β｜≧2、αβ＝1、α＞βをαβ平面上に図示すると、双曲線：αβ＝1のα＞βの部分であるから、0＜β＜1、β＜-1（α＞1、-1＜α＜0）。
流通座標に直すと、結局　2y＝3x-x＾3の　0＜x＜1、x＜-1の部分.

それと、先の質問の時に書き込みミスがありますので訂正しておきます。

＞(1)とf´´（x）＝2（x＋a）から、f´´（-a）＜0より、0＜x＜1、x＜-1.

　　　　　　　　　　　　　↓

(1)とf´´（x）＝2（x＋a）から、f´´（β）＜0より、0＜x＜1、x＜-1.