数学 解法

質問

数学の問題です。
少し解法が不安なので、どのように示すか教えてほしいです。

問題
関数f(x)=(π-x)^1/2 •sinxがある。
この関数の(0,f(0))における接線をg(x)
とする。
このとき、0≦x≦ π/2の範囲で、f(x)≦g(x)が成立することを証明せよ。

お願いします。

回答No.2

info222_

>接線をg(x)
これは「接線をy=g(x)」 です。g(x)だけでは方程式になりません。

> f(x)=((π-x)^(1/2)) sin(x)
でいいですか？

そうなら
f'(x)=-(1/2)(sin(x)/(π-x)^(1/2))+((π-x)^(1/2)) cos(x)
f'(0)=π^(1/2), f(0)=0
より
(0,f(0))におけるf(x)の接線は
　y=g(x)=(√π)x

x=0のとき
　f(0)=g(0)=0なので　f(x)≦g(x) 成立
0<x≦π/2のとき
　f(x)>0, g(x)>0, 0<sin(x)/x<1, √(1-(x/π)) <1であるから
　h(x)=f(x)/g(x)=(√(1-(x/π)))(sin(x)/x)≦1
　∴f(x)≦g(x)

以上まとめると　 0≦x≦π/2　で f(x)≦g(x)
　(証明終わり)

（参考）
0<x≦π/2のとき 0<sin(x)/x<1を示すには
　0<sin(x) は明らかなので
　sin(x)/x<1を示せばよいが、 x>0なので　sin(x)<x　を示せばよい。
　p(x)=x-sin(x)とおくと p'(x)=1-cos(x)>0 (∵0<x≦π/2)なのでp(x)は0<x≦π/2で単調増加。
　p(0)=0なので0<x≦π/2でp(x)=x-sin(x)>0 ∴sin(x)<x
以上から 0<x≦π/2のとき 0<sin(x)/x<1

回答No.1

spring135

f(x)=(π-x)^1/2 •sinx

f'(x)=(1/2)(π-x)^(-1/2)(-1) •sinx+(π-x)^1/2 •cosx

f'(0)=√π

故に

g(x)=√πx (√はπまでかかる）

0≦x≦ π/2の範囲で、f(x)≦g(x)が成立するためには

0≦x≦ π/2の範囲で、y=h(x)=g(x)-f(x)≧0が成立すればよい

y=h(x)=g(x)-f(x)=√πx-(π-x)^1/2 •sinx

h(0)=0

従って0≦x≦ π/2の範囲で、y'=h'(x)≧0

ならばよい。

y'=h'(x)＝√π-[-(1/2)(π-x)^(-1/2)•sinx+(π-x)^1/2 •cosx]

=√π+sinx/2√(π-x)-√(π-x)•cosx

=[2√π√(π-x)+sinx-2(π-x)•cosx]/2√(π-x)

={sinx+2√(π-x)[√π-√(π-x)cosx]}/2√(π-x)

0≦x≦ π/2の範囲で分母＞0

よって分子={sinx+2√(π-x)[√π-√(π-x)cosx]}≧0ならばよい。

0≦x≦ π/2の範囲でsinx＞0,√(π-x)cosx<√(π-x)<√π

よって分子≧０

QED