行列

質問

次の問題がわかりません

PとQを共に任意のｍ次正方行列とするとき、PQとQPの固有多項式が一致することを証明せよという問題がわからず演習書の解説をみたのですが

最初にｍ次の正則行列ＵＶが存在して

ＵＰＶ＝[Er 0] (ただしＥｒｊはｒ次の単位行列、Ｏは零行列
[0 0]
とかいてあるのですがこのＵＶの正体はなんですか？
行列の対角化とはまた違うようですし・・・
どなたかおねがいします

回答No.3

guuman · ベストアンサー

Ex=
[Er 0]
[0 0]
とすると

P・Q=U^-1・Ex・V^-1・Q　の固有多項式と
Ex・V^-1・Q・U^-1　の固有多項式が同じ
Ex・V^-1・Q・U^-1　の固有多項式と
V^-1・Q・U^-1・Ex　の固有多項式が同じ
V^-1・Q・U^-1・Ex　の固有多項式と
Q・U^-1・Ex・V^-1=Q・P　の固有多項式が同じ
だから
P・Q　の固有多項式と
Q・P　の固有多項式が同じ
と証明するのがこの問題の趣旨だろう

Mを任意m次行列としたとき
Ex・M　の固有多項式と
M・Ex　の固有多項式が同じ
が言えることを使うのがこの問題のみそだろう

お礼

このようにしてEをつくるのがみそなんですね。
なんとなくわかりました。ありがとうございました

回答No.2

kup3kup3

>最初にｍ次の正則行列ＵＶが存在して

は、「ｍ次の正則行列ＵとＶが存在して」ではないですか？
それから、
>ＵＰＶ＝[Er 0] (ただしＥｒｊはｒ次の単位行列、Ｏは零行列
[0 0]

ＵＰＶ＝[Er 0]は多分、行列Ｐの「基本変形」のことでしょう。
Ｑはどうなるのでしょうね。

回答No.1

koko_u_

>とかいてあるのですがこのＵＶの正体はなんですか？
行列の rank を求める時によく使ったアレですわ。

補足

rank求めるときにあれなんて使いましたかね？
参考書見ているのですが