行列の問題で、A^(-1)=PDP^(-1)を満たす正則行列Pと対角行

質問

行列の問題で、A^(-1)=PDP^(-1)を満たす正則行列Pと対角行列Dを求めよ。

という問題で、Aの逆行列と、固有値、固有ベクトルまで求めたのですが、その後どうすればよいのでしょうか？

回答No.3

koko_u_u

>この問題はAを対角 化するだけではないようなので困っています。

A^(-1) を対角化すればいいんですよね？
同じではないのですか？

回答No.2

alice_44

A^(-1)=PDP^(-1) が、D^(-1)={P^(-1)}AP と変形できること
に注目しましょう。
A が対角化可能で、かつ、固有値 0 を持たないならば、
A の固有ベクトルを列として並べた行列を P と置けば、
{P^(-1)}AP が対角行列となり、D を求めることができます。
A が対角化可能でなかったり、
対角化可能でも、固有値 0 が在ったりしたら、
A^(-1)=PDP^(-1) という形には変形できません。

回答No.1

koko_u_u

>その後どうすればよいのでしょうか？

対角化の方法を知っているから、固有値と固有ベクトルを求めたのではないのですか？

補足

単に対角化ならA=p^(-1)APを使うのはわかるのですが、この問題はAを対角化するだけではないようなので困っています。固有値とベクトルを使うのではないかと思い、いちよう計算してみました。