正則な行列によってできる行列は正則か？

質問

正則である行列A,Bがあるとします．
この時，この行列のみの積を用いて行列を作った場合(例えばAB^-1Aなど)，その行列は必ず正則であると言えるのでしょうか？

もしくは，演算後の行列が正則であるかどうかは別問題であるのでしょうか？

反例や証明等があれば教えていただきたいです．
よろしくお願いします．

回答No.2

fronteye · ベストアンサー

正則行列の積は必ず正則行列になります。
(n次正則行列全体の集合は一般線型群をなす)

【略証】
A,Bを正則行列とします。
この積をCとします。
C=AB
A,Bは正則行列なので逆行列を持ち、行列の乗法は結合法則が成り立つので
ABにB^(-1)A^(-1)をかけると
ABB^(-1)A^(-1)=AIA^(-1)=I (Iは単位行列)
となります。
上式のABをCに置き換えると
CB^(-1)A^(-1)=I
が言えます。
D=B^(-1)A^(-1)とすると、上式は
CD=I
同様にして
DC=I
も成り立ち、
Cは逆行列Dを持つ正則行列であることが示されます。

お礼

fronteye様，回答ありがとうございました．

一般的な例で成り立つことが示されており，非常に分かりやすかったです．
ベストアンサーに選ばせて頂きます．

回答No.1

muturajcp

正則行列とは,行列の積に関する逆行列を持つ正方行列のことである
Aは正則行列である事と
Aの行列式|A|≠0である事は同値である
A,Bを正則行列とする．
Eを単位行列とする
Aは正則だからAの逆行列A^(-1)があり,AA^(-1)=A^(-1)A=E
Aの逆行列A^(-1)の逆行列は{A^(-1)}^(-1)=Aだから

Aは正則ならばA^(-1)も正則である

Bは正則だからBの逆行列B^(-1)があり,BB^(-1)=B^(-1)B=E

ABB^(-1)A^(-1)=E
B^(-1)A^(-1)AB=E
だからAとBの積
AB
の逆行列は(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)だから

A,Bが正則ならばABも正則である

A,Bが正則ならば
Bが正則→B^(-1)が正則
A,B^(-1)が正則→AB^(-1)が正則
AB^(-1),Aが正則→AB^(-1)Aが正則

お礼

muturajcp様，回答ありがとうございました．
私が示した例に対する証明で，流れが非常に追いやすく，よく理解できました．
ありがとうございました :)