行列A^2＝I のとき、Aは必ず正則かどうか？

質問

行列　A^2＝I　のとき、Aは必ず正則である。

上記が成り立つかどうかの問題です。
私は成り立つと思うのですが、どなたか証明できますでしょうか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

「正則」てのは、逆行列が存在すること。
A 自身が、A の逆行列になっているよね。

回答No.2

Tacosan

「正則」をどう定義するかにもよるんだが
x = y iff Ax = Ay
とか.

お礼

ご協力ありがとうございます！僕の勉強不足だと思いますが、
上記ご回答頂いた内容が理解できないので、少し考えてみます。ありがとうございました！

回答No.1

NemurinekoNya

ケーリー・ハミルトンの公式を使うと、
A^2 = (a+b)A - (ad-bc)I
だから、
(a+b)A -(ad-bc)I = I
(a+b)A = (1-ad+bc)I

a+b = 0の時は、
ad-bc = 1
よって、Aは正則。　　　（I）

a+b × 0の時、
A = (1-ad+bc)/(a+b)I
なので、AはIの定数倍になる。
k = (1-ad+bc)/(a+b)
と置けば、
A = kI
A^2 = k^2I = I
なので、
k^2 = 1
∴ k=-1, 1
ということで、
Aは正則。　　　　　（II）

（I）と（II）より、
Aは正則。

お礼

これは２×２行列のときですね！？
ケーリーハミルトンの公式をもう一度復習して、
改めて理解できるか確認してみます。
ご協力ありがとうございました！