正則行列について

質問

非線形システムの本を読んでいて、

Aが正則行列なので、次のようなc>0が存在する
|Ax|>=c|x|

というのがあるのですが、どのようにしてこのcが出てきたのかわかりません。
このようなcの導出がわかる方、教えて下さい。お願いします。

回答No.5

31415926 · ベストアンサー

やさしい別解を示します．
一般に行列Bとベクトルyに対して
|By|<= |B||y|なので，
|A^{-1}y| <= |A^{-1}||y| です．
この式のyをAxに置き換えると，A^{-1}Ay=xなので
|x| <= |A^{-1}||Ax|, よって
|Ax| <= |A^{-1}|^{-1}|x|
となります．
(A^{-1}は0でないので|A^{-1}|は0でなく，よって逆数が
とれることに注意．)
よってc=|A^{-1}|^{-1}とおけばＯＫ！

この議論ではコンパクト性を使わない代わりに
(あえて関数解析のことばを使うと)
A^{-1}が有界作用素であることを使っています．
(これは有限次元のときは常に正しいが，無限次元
ではそうはいかない)
よって，もしA^{-1}が有界作用素として存在していることがわかっている状況ならば上の議論は無限次元の場合もokです．

お礼

ご回答ありがとうございます。

すごく理解しやすく（僕みたいな無知でも）感動しました。これだと他の人にも説明しやすいです。ありがとうございます。

回答No.4

ringohatimitu

コンパクト集合の定義を書くのを忘れてしまいましたが定義は次のようになります：
集合Aを覆う任意の開集合族U_j（すなわち∪U_j⊃Aであるような{U_j}）に対して有限個の部分族{U_n}がとれて∪U_n(和は有限和)⊃A

質問の場合のようにユークリッド空間においてはこの定義によるコンパクト性と「有界かつ閉であること」は同値なので単位球面｛|ｘ|=1｝はコンパクト集合であることがわかります。

距離空間においてはコンパクト性は部分列という単純な言い換えが可能ですが一般の位相空間においては上の同値性は成り立たなくなります。関数解析で言えばノルム空間のdual（双対）空間におけるweak-*,weak topologyという位相が典型的なものです。そのかわり点列をネットというもので置き換えれば成り立ちますがここのあたりの話は解析一般にはあまり役に立つことは少ないと思われるのでとりあえず距離空間のときに十分コンパクトという概念に慣れておけば問題ないかと思います。

お礼

わかりました。
これから位相空間や関数解析を勉強しようと思います。

回答No.3

ringohatimitu

それではコンパクト性について少し補足しておきます。今の場合ノルム空間で特に距離空間なので、「ある集合がコンパクトであること」と「その集合における"任意"の点列からある点に収束する部分列がとれること」が同値であることは基本的事実です。このことは位相空間のほとんどの本に載っていると思います。ちなみに距離空間はハウスドルフなのでコンパクト部分集合は閉集合です。したがって上の収束先の"ある点"というのは自動的にそのコンパクト集合に属しています。

お礼

補足をありがとうございます。

コンパクト性についてなんとなくですがわかってきました。

今はしっかりと位相空間の本を読んでいるところです。
機械系の学科のため関数解析や位相空間について全然勉強していないですがこれらの大切さが身に染みました。細かく教えていただきありがとうございます。

回答No.2

ringohatimitu

Aが単射であることから従います：
否定を仮定するとｃ_1＞c_2＞c_3＞c_4＞・・・→０となる列に対して|x_j|=1を満たす点列x_1,x_2,x_3,...が存在して|Ax_j|＜c_jとなります。有限次元ノルム空間において｛|ｘ|＝1｝はコンパクトなので収束部分列をとることによりあるｘ(|x|=1)が存在してAx＝０となることが分かります。これはAが正則（特単射）であることに矛盾します。この議論は関数解析でよく出てくるもので慣れておけば役に立つと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

自分は関数解析を勉強したことがなく無知なのですが
今図書館で本を借りて読んでいるところです。

コンパクトというのは最大値と最小値を持つということだと思うのですが、「コンパクトなので収束部分列をとる」というところがよくわからないのですが補足をお願いできないでしょうか？何度もすみません。

回答No.1

pyon1956

|Ax|=|A||x|,
ここで正則だから|A|>0
つまり
|A|>c>0となるcが存在する。

お礼

ご回答ありがとうございます。

少し疑問に思ったのですが、ノルムの性質より|Ax|<|A||x|になってしまうのではないでしょうか？