トポロジーのコンパクト性

質問

トポロジーにおけるコンパクト性って何ですか？
わからなくて困っています、教えてください。

回答No.5

stomachman

再びstomachmanです。
　まさか哲学の話とは思いもよらず、あの、アレでした。oodaiko先生がお出ましなので、なおさらアレですけど(^^;
　で、哲学的文脈におけるコンパクト性とは何か。
　この場合、位相数学をホンマモンの形而上学とみなしている訳じゃなくて、単にアナロジーとして言っている可能性がある。だから、かなりいい加減に感覚的に解釈したらどうなるのか。何が連想できそうか。もうこれは数学じゃないので、oodaiko先生、ひとつ目をつぶってて下さいな。（目に余る？すいません）

(1) コンパクトな集合の中から選んだ適当な無限点列の極限として、何も新しいものは出てこない。極限に答があるなら、必ず元の集合の中に初めからある。そういう意味で閉じている。付け加えるものはない。完成している。自己充足的。まとまってる。発展しない。終わっている。つまらん。そういう性質。まさに「コンパクト」とは良くぞ言ったと思います。

(2) コンパクトだと「連続的」というべきか「点と点の間に隙間がない」というべきか、何だかつるんとした断片のようなもの。こういうコンパクト集合をぺたぺた貼り付けて並べていく。ぺたとくっつけると、全体としてコンパクトになることはoodaiko先生のご回答通り。どんどん繋いで延ばしていく。ぺたを一つづつ辿って行く分には、局所しか見てないから、全体の形が歪もうが捻れようが関係ない。しかし例えば小さい円盤を貼り続けてとうとう球面にしちゃったときと、ドーナツ面にしたときと、変にひねってクラインの壺にしたときとでは、その面上での幾何学の性質が違ってきますヨ、というような所から位相幾何の話を始めることができます。
　つまり全体を、ひとつの完成されたへんてこな空間（多様体）として閉じた時のよじれ具合が、ぺただけ見ていたのではなかなか分からない性質を発生させる。謂わば、ぺたを素材にしていろんな空間が作れる訳です。ぺたぺた貼る所が位相幾何学のひとつの特徴じゃないでしょうか。こっちの意味かな？

(3) 比喩ですらない、著者の感覚で選んだ言葉。従って読者から見れば単なる無定義用語であり「ケメソ」と言い換えても同じ事。「コンパクト」の何たるかは文脈から読みとってイメージするしかない。これもありそうな話ですが、「コンパクト」がそう何度も出てこないから困っていらっしゃるんでしょうし... 「ＸＸに関する観点」という代わりに「ＸＸの位相」なんて、よく見かけますもんね。哲学やってる人に分からないもの、文脈から切り離したらなおさら分からないのは当たり前。だとすれば、同じ先生の別の著書を調べるしかないのかな。stomachmanならすっ飛ばして読んでるところですけどねえ。（＜いつもイー加減だから！）