- ベストアンサー
トポロジーのコンパクト性
siegmundの回答
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
siegmund です. stomachman さんの回答見て気づきましたが, 質問はトポロジーでもおかしくないですね. 広義のトポロジーだと思えばいいですか(もうボロが出始めています) 普通は単にトポロジーと言うと,狭い意味で「位相幾何学」を指しますけどね. minorinko さんは哲学の学生さんですか. いやあ,哲学も集合論まで出てくるとなると大変ですね. でも,哲学者で数学者という人はかなりいましたか. すぐ思いつくだけでも,ピタゴラス,プラトン,アリストテレス, パスカル,デカルト,ライプニッツ,ニュートン,フレーゲ, ホワイトヘッド,ラッセル,ブローエル,など. あ,こういうことはそれこそ minorinko さんの方が詳しいですね. ボロが出ないうちにやめましょう. 普通の3次元空間では,空間の点がその要素になっていて, 点の間の距離が √{(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2} で表されます. 1次元空間なら,|x1-x2| が距離ですね. で,2つの点の間の距離が近いとか,2の点が近づく,などといいますね. また,点が連続的に分布している,点Aを点Bに近づけた極限,などともいいます. これを一般の集合に拡張して,集合の構成要素間に「距離みたいなもの」を 与えた構造を「位相」と言っています. コンパクトは連続性の拡張みたいな概念です. 例えば, Bolzano‐Weierstrass の集積点定理は 「閉区間Sの任意の無限部分集合は少なくとも一つの集積点をSの中に持つ」で こういう性質をコンパクト性といっています. 他にもコンパクト性の表現の仕方はあります. 普通の1次元空間(数直線)で説明しましょう. 例えば [0,1] の閉区間をSとします. (両端の0と1を含んでいることに注意). 1/n 全体(n = 1,2,3,...)の集合AはSの部分集合で要素は無限個あります. すなわち,AはSの無限部分集合です. で,0(ゼロ)はAの集積点になっています. 集積点とは,粗くいえばAの要素が0の近くにぎゅうぎゅう詰まっていること. もう少し正確に言えば,0の任意近傍にAの要素が存在する,ということ. で,0はAの集積点になっているか? そりゃなっていますよ. いくら0に近い点x(正の側)をとっておいても, nを十分大きくすれば0とxの間に 1/n が入ります. 閉集合にして端の0を入れておかないと,集積点がSに含まれなくなります. つまり,数直線,平面,3次元空間,などのユークリッド距離空間では, 有界閉集合であることと,コンパクトであることとは同値です. 上の例を,一般の集合と「距離の一般化」に拡張した概念がコンパクト性です. 私のコンパクト性に対する理解は以上のようなものです. 私は物理屋で数学者じゃありませんので, 上の説明にはもしかしたら誤りがあるかも知れません. 数学専門の方,適切なフォローいただければ幸いです.
関連するQ&A
- トポロジーって何?
ネットワークの構築時の議論で「トポロジーはどうなってる?」と聞かれたので、 「それ何?」って聞いたら「そんなことも知らんのか?」という顔をされたきりで 教えてもらえませんでした。 誰か教えてください。お願いします。
- 締切済み
- その他(インターネット・Webサービス)
- トポロジーの共通部分はトポロジー?(急ぎです!!)
「{J_a : a∈I} をX上のトポロジーの族とすると,∩J_a {a∈I} もまたX上のトポロジーである.」 という記述がでてきました. Iが有限じゃない場合でもトポロジーの集合族のインターセクションはトポロジーになるっていうことですか? 有限じゃない場合はどうしてなのかわかりません. そもそも{J_a : a∈I} をX上のトポロジーの族っていうのは,密着位相とか離散位相とかが{J_a}の要素にあたる集合ってことなのですか? 支離滅裂な質問になってしまいましたが,よろしくお願いいたします.
- 締切済み
- 数学・算数
- トポロジーについて。
トポロジー(位相幾何学)によれば、ある穴の開いた風船体・ゴム袋体の図形の概念など、位相的に、平たい1枚の紙と同じ図形の分類に属するそうですが、それでは、別途、穴の閉まった風船体にあっては、位相幾何学上、どのように、図示化されるのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- トポロジー図を書くには?
自宅から図書館までのネットワークトポロジー図を書かなければならなくなってしまいました。 ですが、なにからはじめればいいのかわかりません。。 一から、学ぶためにお勧めの本やサイトがあったら教えてください。 できれば簡単なものだとうれしいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- ネットワーク