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大学数学 トポロジーの様々な問題がわかりません
kup3kup3の回答
- kup3kup3
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すみません。ちょっと間違いがありましたので訂正。 私の最初の回答で (2)のところ、次のように訂正します。 また、インターネットで悪さをされたようなので もう一回打ちます。 f:(-π／2,π／2) →R^1の同相は f(x)=tanxで与えられる。 そこでh:(3,10)→(-π／2,π／2) の全単射が直線 y=ax+b で、できるようにすればよい。x=3のとき、y=-π／2， x=10のとき、y=＋π／2となるようにa,bを決めよう。 決まったこの関数をh(x)とする。 よって、f=g*h:(3,10)→R^1を考えて、 f(x)=g*h(x)=tan(h(x))を考えればよい。これはhomeomorphicになる。 ◎または、直接に f(x)=1/(10-x)－1/(x-3)と定義すると、 これが、f:(3,10)→R^1の位相同型写像を与えます。 f'(x)=1/{(10-x)^2}＋1/{(x-3)^2}>0 f(x)は(3,10)で単調増加です。 x → 3+0のとき、f(x)→ －∞， x → 10-0のとき、f(x)→ ＋∞ となtりますのでグラフからf(x)=1/(10-x)－1/(x-3)は (3,10)→R^1の全単射 連続写像を当てます。 f^(-1):R^1 → (3,10)は、yをR^1の元とすると、 y=0のとき、x=13/2 ・・・(a) y≠0のとき、2重根号√を含んだとき、 x=13/2+1/(2y)×[√{(7y)^2+4}－2] =13/2+(49y)/[2√{(7y)^2+4}]・・・(b)となります。 これが連続をy=0で言わねばならない。 y →0のとき、(49y)/[2√{(7y)^2+4}] → 0となり、。okですが 計算が面倒です。 以上です。
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