反復試行の確率について

質問

反復試行について、教えてください。

今、赤球が4個、白球が3個、黒球が2個、青球が1個あります。
この中から1つ取り出し、色を確認して中に戻します。
同じ色の球を4回取り出すまで、繰り返し行います。

このとき、
(1)5回目に赤球を取り出し、終了する確率
(2)9回目に赤球を取り出し、終了する確率
(3)12回目に赤球を取り出し、終了する確率
の3つを求めます。

繰り返し行うということで、反復試行を用いるだろうと予想し、
(1)については、4回のうち、3回は赤を、1回は他の色を、最後にまた赤を取り出し、
4C3 * (4/10)^3 * (6/10) * (4/10)　と考えました。
(2)も同様に、8回中3回が赤、5回は他、最後は赤で、
8C3 * (4/10)^3 * (6/10)^5 * (4/10) と考えました。
(3)も同様に、
11C3 * (4/10)^3 * (6/10)^8 * (4/10) としました。

しかし、(2)について考えると、「その他の球を5回取り出す」間に、
別の色の球を4回取り出して、終了してしまう場合が存在しています。
これは(3)についても同様です。(3)の場合は、「その他の球を8回取り出す」間に、赤以外の2つの色を4回ずつ取り出している場合もありえます。

正確に赤球だけが4回取り出されて、指定された回数に終了する確率を求めたいのですが、その方法が分かりません。
どなたかご説明していただけないでしょうか？

回答No.3

debut · ベストアンサー

No1です。
＞nCr*P^n*(1-P)^(n-r)に合わないのですが、
p^rじゃないかとおもいますが。。
pと1-pの関係のことですか。
これは白３黒２と指定しているから、２つのみの事象で考えているその公式のpと1-pの関係には合いません。
８回中、３回赤、３回白、２回黒は
赤の場所が8Ｃ3通りで、その確率を３回かけて、8Ｃ3(4/10)^3
残り５個の場所から白の場所の選び方は5Ｃ3通りで、その確率を３回かけて、5Ｃ3(3/10)^3
残り２個の場所は黒だから１通りで、その確率をかけて(2/10)^2
だから　8Ｃ3(4/10)^3*5Ｃ3(3/10)^3*(2/10)^2という計算になり
赤は後回しにして5Ｃ3(3/10)^3*(2/10)^2の部分だけを書いたものです。

それから、No1の回答の下から２行目の
＞12Ｃ3(4/10)^3(4/10)にかける。
は　11Ｃ3(4/10)^3(4/10)にかける。 の誤りでした。

お礼

丁寧なご説明、ありがとうございました。

回答No.2

hermite

(2)は引き算の方が楽かな・・・

8回中3回赤で、残りの5回は赤以外から
(白4他1)
(黒4他1)
(青4他1)
のとき失敗なので
8C3*(4/10)^3*(6/10)^5
から
8C3*(4/10)^3*{5C4*(3/10)^4*(3/10)}
8C3*(4/10)^3*{5C4*(2/10)^4*(4/10)}
8C3*(4/10)^3*{5C4*(1/10)^4*(5/10)}
を引いて、その後9回目の赤を引く確率4/10をかける。
・・・・とか。

お礼

ご指摘の通り、そのやり方のほうがスマートな気がします。
手計算で地道にやるのが良さそうなので、なるべく計算量の少ないやり方で
計算していこうと思います。回答、ありがとうございました。

回答No.1

debut

(2)
地道にやってしまうのが一番簡単そうな気もします。
赤以外の５回が
（白３黒２）→5Ｃ3(3/10)^3(2/10)^2
（白３黒１青１）→5Ｃ3(3/10)^3*2Ｃ1(2/10)(1/10)
（白３青２）→5Ｃ3(3/10)^3(1/10)^2
（白２黒３）→5Ｃ2(3/10)^2(2/10)^3
（白２黒２青１）→5Ｃ2(3/10)^2*3Ｃ2(2/10)^2(1/10)
（白２黒１青２）→5Ｃ2(3/10)^2*3Ｃ1(2/10)(1/10)^2
（白２青３）→5Ｃ2(3/10)^2(1/10)^3
（白１黒３青１）→5Ｃ1(3/10)*4Ｃ3(2/10)^3(1/10)
（白１黒２青２）→5Ｃ1(3/10)*4Ｃ2(2/10)^2(1/10)^2
（白１黒１青３）→5Ｃ1(3/10)*4Ｃ1(2/10)(1/10)^3
（黒３青２）→5Ｃ3(2/10)^3(1/10)^2
（黒２青３）→5Ｃ2(2/10)^2(1/10)^3
ならＯＫ。全部足して8Ｃ3(4/10)^3(4/10)にかける。

(3)は残り８回が白、黒、青が（３回、３回、２回）だけを考えればいいから
8Ｃ3(3/10)^3*5Ｃ3(2/10)^3(1/10)^2
8Ｃ3(3/10)^3*5Ｃ2(2/10)^2(1/10)^3
8Ｃ2(3/10)^2*6Ｃ3(2/10)^3(1/10)^3
ならＯＫ。全部足して、12Ｃ3(4/10)^3(4/10)にかける。

これしか考えつきません。。

お礼

やはり地道にひとつひとつ確認していく手法しかないのですね。
たとえば一番上の(白3黒2)の場合だと、反復試行の公式
nCr*P^n*(1-P)^(n-r)に合わないのですが、これは問題ないのでしょうか？

回答、ありがとうございました。