図形と方程式の問題で

質問

次の直線に関して与えられた点と対称な点の座標を求めよ。
x+2y=0、（2、1）

という問題なのですが、どういう風にして解くかは分かるのですが、何度やっても回答と一致しません。誰かこの問題の解く過程を教えてください。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

#3です。
補足を見たのですが、そういう事ではなくて、ここが間違いです、と指摘するためにimadas2さんがどこでどういう計算をして、最終的にはどういう答えになったのか、を書いてほしかったのですが。
まあ、回答を書きますので、これを参考に、自分が何処で間違えたのか、探して下さい。

直線L：x+2y=0、点A(2,1)、点P(x0、y0)と置きます。
点Ｐと点Ａ(2,1)の中点は直線ｘ+2ｙ=0上にあるので
(ｘ0+2)+2(ｙ0+1)=0・・・(1)

直線Lを変形するとy=(-1/2)xより、直線Lの傾きは-1/2
直線ＡＰの傾きは(ｙ0-1)/(ｘ0-2)なので、
(ｙ0-1)/(ｘ0-2)*(-1/2)=-1
-2(x0-2)倍して
ｙ0-1=2ｘ0-4
∴ｙ0=2ｘ0-3・・・(2)
これを(1)に代入すると
x0+2+2*{(2x0-3)+1}=0
5x0-2=0
∴x0=2/5
(2)に代入して
y0=-11/5
よって、求める座標は(2/5,-11/5)

細かい事ですが、補足に、
＞2点を結ぶ直線の中点がx+2y=0に交わる
とありますが、点と直線が交わるという表現はおかしいと思います。
2点の中点がx+2y=0上にある、
あるいは、交わると言う言葉を使いたければ
2点を結ぶ直線と直線x+2y=0が2点の中点で交わる
という表現の方がいいと思います。

お礼

どうも有難うございました。APの傾きをず～っと間違えて出していたのが原因でした。ようやく解くことが出来ました。ありがとうございました。

回答No.3

eatern27

求める点をＰ(ｘ0、ｙ0)とすると
点Ｐと点Ａ(2,1)の中点は直線ｘ+2ｙ=0上にあるので
(ｘ0+2)+2(ｙ0+1)=0・・・(1)

直線ｘ+2ｙ=0の法線ベクトル(1,2)と直線ＡＰの方向ベクトル(ｘ0-2、ｙ0-1)は平行であるので、
ｔ(1,2)=(ｘ0-2、ｙ0-1)とおけば、
ｔ=ｘ0-2、2ｔ=ｙ0-1、
(この部分は、ｘ+2ｙ=0の傾き-1/2と直線ＡＰの傾き(ｙ0-1)/(ｘ0-2)の積が-1である、と解いてもよい)

すなわちｘ0=ｔ+2、ｙ0=2ｔ+1が成り立つので、これらを(1)に代入して解くと
ｔ=-8/5
∴(ｘ0、ｙ0)=(2/5，-11/5)

他人の回答を聞くよりは、自分の解き方のどこが間違いだったかを聞く方が勉強になると思います。imadas2さんの解き方を補足に書いて下さい。

補足

解き方ですが、まず2式の傾きを出して、x+2y=0と2点を結ぶ直線が垂直に交わるので、その二つの式の傾きを掛けると-1になることを利用して方程式を1つ導きます。そして、2点を結ぶ直線の中点がx+2y=0に交わる事を利用して方程式を1つ導きます。そして導いた2つの式を連立させて求めるというとき方です。

回答No.2

aodesu

x+2y=0は、
y=-0.5x
これと直行する直線の傾きaは、
-0.5*a=-1で求まる。
a=2
したがって、解は
y=2x+b
の直線上にある。
上記の直線は、(2,1)を通るので
直線は、y=2x-3
この直線とy=-0.5xの交点を求める。
すると、(6/5,-3/5)
(2,1)から(6/5,-3/5)をひくと、(4/5,8/5)
これを(6/5,-3/5)から(2,1)と反対の方に伸ばすことを考える。
(6/5,-3/5)-(4/5,8/5)
は、(2/5,-11/5)
したがって、答えは(2/5,-11/5)
違いますか？

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.1

kony0

答えは(2/5,-11/5)ですか？
imadas2さんがどういう風にして解いたのかがわからないため、こちらからこの問題の解く過程を記すことには意味がないと考えます。
まずどういう風にして解いたかを記すべきです。

補足

どうもすみません。答えはそれであっています。
解き方ですが、まず2式の傾きを出して、x+2y=0と2点を結ぶ直線が垂直に交わるので、その二つの式の傾きを掛けると-1になることを利用して方程式を1つ導きます。そして、2点を結ぶ直線の中点がx+2y=0に交わる事を利用して方程式を1つ導きます。そして導いた2つの式を連立させて求めるというとき方です。ちょっとうまく説明する事ができませんが・・・。