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図形と方程式の問題です

座標平面上に直線L2:y=3/4xと点A(8,6)がある。 また、点Aを通りL1に垂直な直線をL2とする。 中心がL2上にあり、y軸とL1の両方に接する円のうち、L1の上側にある円をC1とする。C1の方程式を求めよ。 *** 以下は私の考えです。 L2:y=-4/3x+50/3 と求め、円C1の中心をC(a,-4/3a+50/3)と表しました。 図から半径をaと判断して、AC=aという方程式を立てました。 AC=√{(a-8)^2+(-4/3a+50/3-6)^2} =√{25/9(a-8)^2} =5/3(a-8) 5/3(a-8)=a a=20 ∴(x-20)^2+(x+10)^2=400 となったのですが解答と一致しませんでした。 何回か計算し直してもやはりこうなってしまい、考え方が間違っているのだと思うのですが、自分では誤りを見つけられませんでした。 もう一度計算し直せ!という回答も含めて、どこが間違っているのか、何が足りないのか、など指摘していただけると助かります。 図々しいですが詳しく教えて頂けるとさらにありがたいです。 どうかよろしくお願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3

最後の最後で、少しミスをしています。 AC=√{(a-8)^2+(-4/3a+50/3-6)^2} =√{25/9(a-8)^2} =5/3(a-8) 最後のところですが、√{(a-8)^2}= |a-8|(絶対値つき)になります。 ここがミスの箇所です。 作図をすればわかることですが、問題文に「L1の上側にある円をC1とする。」とあります。 これは、「下側にもそのような円はあります」ということも意味しています。 ということは、式から求めた場合には 2とおりの答えが出てくるはずです。 あと、作図に頼った別解として、 (点Cの x座標)=(辺ACの長さ)= aとしたとき、 直線ACの傾きが -4/3なので (点Cの x座標)=(点Aの座標)-3/5* a となります。(3:4:5の直角三角形を考えます) すると、1次方程式で解けてしまいます。 L1の上側ということから、「-」3/5* aとしているので答えが1つに絞りこまれます。 「+」3/5* aとすれば、a= 20が得られます。

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質問者からのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません・・・ 絶対値をつけないと下の円のみ求めていることになるんですね;; 基礎的なことも復習しようと思います。 そして図からも求められるとは・・・ 全く思いつきませんでした。 様々な方向から考えるのも大切なんですね! ミスの指摘だけでなく、別解まで示して下さって本当にありがとうございました。

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  • 回答No.6
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

他にも、 直角三角形の合同で、C のy座標はOA(=10)と等しい、とすれば (a,10)をL2に代入して求められます。

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質問者からのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません・・・ そうですよね! もっと正確に図をかいて、図からも考えられるよう精進します。 自分では思いつかない考え方が聞けたので、質問して良かったです ;; お答え頂きありがとうございました!

  • 回答No.5

やっぱり計算ミス。。。。。。。w (誤)【1】β=2α の時、(3)からα>0であり、(1)より α=25/7、β=50/7.【2】β=(-1/2)*αの時、(3)からα<0であり、α=50/3 となり不適。以上から、求める円は、(x-25/7)^2+(y-50/7)^2=(25/7)^2 。 (正)【1】β=2α の時、(3)からα>0であり、(1)より α=5、β=10. 【2】β=(-1/2)*αの時、(3)からα<0であり、(1)より α=10/3 となり不適。 以上から、求める円は、(x-5)^2+(y-10)^2=(5)^2 。

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  • 回答No.4

>どこが間違っているのか、何が足りないのか、など指摘していただけると助かります もつとsimpleに解こう。 L1:4y-3x=0、L2:3y+4x-50=0 であるから、求める円の方程式を(x-α)^2+(y-β)^2=(r)^2 r>0 とする。 ところが、条件から、r=|α|であるから、円は(x-α)^2+(y-β)^2=α^2  となる。 中心がL2上にあるという条件から、3β+4α-50=0 ‥‥(1) 又、L1と円が接するから、円の中心(α、β)とL1との距離が円の半径|α|に等しい。 よって、点と直線との距離の公式から、|3α-4β|/5=|α|であるから、3α-4β=±5α → β=2α、(-1/2)*α。‥‥(2) 又、円がL1の上側にあるという条件から、4β>3α ‥‥(3) 【1】β=2α の時、(3)からα>0であり、(1)より α=25/7、β=50/7. 【2】β=(-1/2)*αの時、(3)からα<0であり、α=50/3 となり不適。 以上から、求める円は、(x-25/7)^2+(y-50/7)^2=(25/7)^2 。 計算に自信なし、チェックしてね。

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質問者からのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません・・・ なるほど! (α、β)とおけばこんなにもスマートに解けるんですね。 私の解答は分数やら根号やらでごちゃごちゃで;; simpleに解けるように様々な方向から考えるようにしたいと思います。 わざわざ修正までして下さってお手数かけました;; わかりやすい解答ありがとうございました。

  • 回答No.2
  • tk0840
  • ベストアンサー率20% (2/10)

L1の下側の円を求めてしまってるみたいですね. gohtrawさんと同じで,2乗する部分では+と-の両方の場合を考えないとだめですよ

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質問者からのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません・・・ 下にも円があることなんて全く考えていませんでした。 考え方が甘かったですね;; 精進します! お答え頂きありがとうございました。

  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

AC=√{(a-8)^2+(-4/3a+50/3-6)^2} =√{25/9(a-8)^2} =5/3(a-8) この部分で AC=5/3(8-a) の場合を忘れていませんか?こちらを解くとa=5になります。

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質問者からのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません・・・ そうですよね! 基本的なことをすっかり忘れていました。 的確な指摘ありがとうございました!

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